Решение квадратного трехчлена. Нахождение корней квадратного трехчлена. Что такое параметр
Квадратным трехчленом называют трехчлен вида a*x 2 +b*x+c, где a,b,c некоторые произвольные вещественные (действительные) числа, а x – переменная. Причем число а не должно равняться нулю.
Числа a,b,c называются коэффициентами. Число а – называется старшим коэффициентом, число b коэффициентом при х, а число с называют свободным членом.
Корнем квадратного трехчлена a*x 2 +b*x+c называют любое значение переменной х, такое, что квадратный трехчлен a*x 2 +b*x+c обращается в нуль.
Для того, чтобы найти корни квадратного трехчлена необходимо решить квадратное уравнение вида a*x 2 +b*x+c=0.
Как найти корни квадратного трехчлена
Для решения можно использовать один из известных способов.
- 1 способ.
Нахождение корней квадратного трехчлена по формуле.
1. Найти значение дискриминанта по формуле D =b 2 -4*a*c.
2. В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:
Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет два корня.
x = -b±√D / 2*a
Если D < 0, то квадратный трехчлен имеет один корень.
Если дискриминант отрицателен, то квадратный трехчлен не имеет корней.
- 2 способ.
Нахождение корней квадратного трехчлена выделением полного квадрата. Рассмотрим на примере приведенного квадратного трехчлена. Приведенное квадратное уравнение, уравнение у которого на старший коэффициент равен единице.
Найдем корни квадратного трехчлена x 2 +2*x-3. Для этого решим следующее квадратное уравнение: x 2 +2*x-3=0;
Преобразуем это уравнение:
В левой части уравнения стоит многочлен x 2 +2*x, для того чтобы представить его в виде квадрата суммы нам необходимо чтобы там был еще один коэффицент равный 1. Добавим и вычтем из этого выражения 1, получим:
(x 2 +2*x+1) -1=3
То, что в скобках можно представить в виде квадрата двучлена
Данное уравнение распадается на два случая либо x+1=2 , либо х+1=-2.
В первом случае получаем ответ х=1, а во втором, х=-3.
Ответ: х=1, х=-3.
В результате преобразований нам необходимо получить в левой части квадрат двучлена, а в правой части некоторое число. В правой части не должна содержаться переменная.
Презентация к уроку математики в 9 классе по теме "Квадратный трехчлен и его корни" с содержанием заданий углубленного уровня изучения предмета. Презентация расчитана на продолжительное использование в течение всего урока. Задания разного рода по содержанию.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Пункт плана Пункт плана Пункт плана Пункт плана Пункт плана Актуализация знаний Изучение темы урока Энциклопедическая справка Динамическая минутка Домашнее задание Квадратный трехчлен и его корни подготовила учитель математики: 1КК Радченко Наталья Федоровна
Актуализация знаний Изучение темы урока Энциклопедическая справка Динамическая минута Домашнее задание Актуализация знаний ◊ 1 Повторение материала о функциях; ◊ 2 Теоретические основы решения квадратного уравнения; ◊ 3 Теорема Виета; ◊ 4 Итог.
Актуализация знаний Повторение материала: среди данных функций укажите линейные убывающие функции: y= x²+12 y= -x-24 y= 9x+8 h= 23-23x h= 1/x² g= (x+16)² g= -3
Актуализация знаний Чем определяется наличие и количество корней квадратного уравнения? Как вычислить дискриминант квадратного уравнения D = 2. Назовите формулы корней квадратного уравнения D>0 , то х 1,2 = D = 0 , то х =
Актуализация знаний t² - 2t – 3 = 0 3. Вычислите дискриминант и ответьте на вопрос «Сколько корней имеет квадратное уравнение»? D= 16 >0 , два корня Чему равно произведение корней? Х 1 х 2 = - 3 5. Чему равна сумма корней уравнения? Х 1 + х 2 = 2 6. Что можно сказать о знаках корней? Корни разных знаков 7. Найдите корни подбором. Х 1 = 3, х 2 = -1
Изучение темы урока ◊ 1 Сообщение темы урока; ◊ 2 Теоретические основы понятия «Квадратный трехчлен и его корни»; ◊ 3 Высказывания великих мыслителей о математике; ◊ 4 Разбор примеров тематики; Изучение темы урока Энциклопедическая справка Динамическая минута Домашнее задание
Квадратный трехчлен и его корни Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax² + bx + c , где x- переменная, a, b и c - некоторые числа, причем, a≠ 0 . Корнем квадратного трехчлена называется значение переменной, при котором значение этого трехчлена равно нулю Чтобы найти корни квадратного трехчлена ax² + bx + c , необходимо решить квадратное уравнение ax² + bx + c =0
Квадратный трехчлен и его корни Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять. Р.Декарт Мыслить последовательно, судить доказательно, опровергать неправильные выводы должен уметь всякий: физик и поэт, тракторист и химик. Э. Кольман
Энциклопедическая справка ◊ 1 Понятие «параметр»; ◊ 2 Значение слова «параметр» словарях русского языка и словаре иностранных слов; ◊ 3 Обозначение и широта применения параметра; ◊ 4 Примеры с параметрами. Энциклопедическая справка Динамическая минута Домашнее задание
Энциклопедическая справка ПАРАМЕТР (от греч. παραμετρέω - меряю, c опоставляя). Величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи…, (мат.) Параметр – постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи… «Словарь иностранных слов». 3. При каком значении параметра m квадратный трехчлен 2х ² + 2тх – т – 0,5 имеет единственный корень? Найдите этот корень.
Динамическая пауза ◊ 1 Решение «проблемной задачи»; ◊ 2 Историческая справка: письмо из прошлого; Динамическая минутка Домашнее задание
Динамическая пауза При каком значении параметра т квадратный трехчлен 2х ² + 2тх – т – 0,5 = 0 и меет единственный корень? Найдите этот корень. Квадратное уравнение имеет один корень D=0 D= b² - 4ac; a=2, b=2m, c= - m – 0,5 D= (2m)² - 4 2 (- m – 0,5) = 4m² + 8m +4 D=0, 4m² + 8m +4 = 0 m² + 2m +1 = 0 (m + 1)² = 0 m= - 1 Подставим найденное значение m в исходное уравнение: 2х ² - 2х + 1 – 0,5 = 0 4х ² - 4х + 1 = 0 (2х – 1) ² =0 2х -1 =0 х = 0,5
Динамическая пауза В домашнем задании ученикам 8 класса было предложено найти корни квадратного трехчлена (х ² - 5х +7) ² - 2(х ² - 5х +7) - 3 Подумав, Витя рассудил так: сначала нужно раскрыть скобки, потом привести подобные слагаемые. Но Степа сказал, что есть более простой способ решения и раскрывать скобки вовсе необязательно. Помогите Вите найти рациональный путь решения
Динамическая пауза Задачи на нахождение корней квадратного трехчлена и составление квадратных уравнений встречаются уже в древнеегипетских математических папирусах. Общее правило нахождения корней и решения уравнений вида: ax ² + bx = c, где a > 0, b и c – любые, сформулировал Брахмагупта (VII в. н. э.). Брахмагупта еще не знал, что квадратное уравнение может иметь и отрицательный корень. Бхаскара Ачарья (XII в.) сформулировал, соотношения между коэффициентами уравнения. Составил много задач.
Обобщение, домашнее задание ◊ 1 Решение упражнений с параметром: различные типы заданий; ◊ 2 Итог по изучаемой теме; ◊ 3 Домашнее задание: по уровням. Домашнее задание
Обобщение, домашнее задание Найдите корни квадратного трехчлена (x-4)² +(4y-12)² . Найдите значения параметра a , при каждом из которых квадратный трехчлен x²+ 4 x + 2ax+8a+1 имеет одно решение. Задание на дом: п.3; 1 группа: №45 (в, г), №49(в, г); 2 группа: a) найдите значение параметра а, при котором квадратный трехчлен x²-6x+2ax+4a не имеет решения; b) найдите корни квадратного трехчлена (2x-6)²+(3y-12)²
источник шаблона Чернакова Наталия Владимировна Преподаватель химии и биологии ГОУ НПО Архангельской области «Профессиональное училище №31» «http://pedsovet.su/»
Нахождение корней квадратного трехчлена
Цели: ввести понятие квадратичного трехчлена и его корней; формировать умение находить корни квадратного трехчлена.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Какие из чисел: –2; –1; 1; 2 – являются корнями уравнений?
а) 8х + 16 = 0; в) х 2 + 3х – 4 = 0;
б) 5х 2 – 5 = 0; г) х 3 – 3х – 2 = 0.
III. Объяснение нового материала.
Объяснение нового материала проводить по следующей с х е м е:
1) Ввести понятие корня многочлена.
2) Ввести понятие квадратного трехчлена и его корней.
3) Разобрать вопрос о возможном количестве корней квадратного трехчлена.
Вопрос о выделении квадрата двучлена из квадратного трехчлена лучше разобрать на следующем уроке.
На каждом этапе объяснения нового материала необходимо предлагать учащимся устное задание на проверку усвоения основных моментов теории.
З а д а н и е 1. Какие из чисел: –1; 1; ; 0 – являются корнями многочлена х 4 + 2х 2 – 3?
З а д а н и е 2. Какие из следующих многочленов являются квадратными трехчленами?
1) 2х 2 + 5х – 1; 6) х 2 – х – ;
2) 2х – ; 7) 3 – 4х + х 2 ;
3) 4х 2 + 2х + х 3 ; 8) х + 4х 2 ;
4) 3х 2 – ; 9) + 3х – 6;
5) 5х 2 – 3х ; 10) 7х 2 .
Какие из квадратных трёхчленов имеют корень 0?
З а д а н и е 3. Может ли квадратный трехчлен иметь три корня? Почему? Сколько корней имеет квадратный трехчлен х 2 + х – 5?
IV. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 55, № 56, № 58.
2. № 59 (а, в, д), № 60 (а, в).
В этом задании не нужно искать корни квадратных трехчленов. Достаточно найти их дискриминант и ответить на поставленный вопрос.
а) 5х 2 – 8х + 3 = 0;
D 1 = 16 – 15 = 1;
D 1 0, значит, данный квадратный трехчлен имеет два корня.
б) 9х 2 + 6х + 1 = 0;
D 1 = 9 – 9 = 0;
D 1 = 0, значит, квадратный трехчлен имеет один корень.
в) –7х 2 + 6х – 2 = 0;
7х 2 – 6х + 2 = 0;
D 1 = 9 – 14 = –5;
Если останется время, можно выполнить № 63.
Р е ш е н и е
Пусть ax
2 + bx
+ c
– данный квадратный трехчлен. Поскольку a
+ b
+
+ c
= 0, то один из корней этого трехчлена равен 1. По теореме Виета второй корень равен . Согласно условию, с
= 4а
, поэтому второй корень данного квадратного трехчлена равен
.
О т в е т: 1 и 4.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что такое корень многочлена?
– Какой многочлен называют квадратным трехчленом?
– Как найти корни квадратного трехчлена?
– Что такое дискриминант квадратного трехчлена?
– Сколько корней может иметь квадратный трехчлен? От чего это зависит?
Домашнее задание: № 57, № 59 (б, г, е), № 60 (б, г), № 62.
Найти корень квадратного трехчлена можно через дискриминант. Кроме того, для приведенного многочлена второй степени действует теорема Виета, основанная на соотношении коэффициентов.
Инструкция
- Квадратные уравнения – довольно обширная тема в школьной алгебре. Левая часть такого уравнения представляет собой многочлен второй степени вида А х² + B х + C, т.е. выражение из трех одночленов разной степени неизвестной х. Чтобы найти корень квадратного трехчлена, нужно вычислить такое значение х, при котором выполняется равенство этого выражения нулю.
- Для решения квадратного уравнения нужно найти дискриминант. Его формула является следствием выделения полного квадрата многочлена и представляет собой определенное соотношение его коэффициентов:D = B² – 4 А C.
- Дискриминант может принимать различные значения, в том числе быть отрицательным. И если младшие школьники могут с облегчением сказать, что корней у такого уравнения нет, то старшеклассники уже способны их определить, исходя из теории комплексных чисел. Итак, вариантов может быть три: Дискриминант – положительное число. Тогда корни уравнения равны: х1 = (-B + √D)/2 А; х2 = (-B - √D)/2 А;
Дискриминант обратился в ноль. Теоретически в этом случае уравнение также имеет два корня, но практически они одинаковы: х1 = х2 = -B/2 А;
Дискриминант меньше нуля. В расчет вводится некая величина i² = -1, которая позволяет записать комплексное решение: х1 = (-B + i √|D|)/2 А; х2 = (-B - i √|D|)/2 А. - Метод дискриминанта справедлив для любого квадратного уравнения, однако есть ситуации, когда целесообразно применить более быстрый способ, особенно при небольших целочисленных коэффициентах. Этот способ называется теоремой Виета и заключается в паре соотношений между коэффициентами в приведенном трехчлене:х² + P х + Q
х1 + х2 = -P;
х1 х2 = Q.Остается только подобрать корни. - Следует отметить, что уравнение может быть приведено к подобному виду. Для этого нужно разделить все слагаемые трехчлена на коэффициент при старшей степени А:А х² + B х + C |А
х² + B/А х + C/А
х1 + х2 = -B/А;
х1 х2 = C/А.
Изучение многих физических и геометрических
закономерностей часто приводит к решению задач с
параметрами. Некоторые ВУЗы также включают в
экзаменационные билеты уравнения, неравенства и
их системы, которые часто бывают весьма сложными
и требующими нестандартного подхода к решению. В
школе же этот один из наиболее трудных разделов
школьного курса алгебры рассматривается только
на немногочисленных факультативных или
предметных курсах.
На мой взгляд, функционально-графический метод
является удобным и быстрым способом решения
уравнений с параметром.
Как известно, в отношении уравнений с
параметрами встречаются две постановки задачи.
- Решить уравнение (для каждого значения параметра найти все решения уравнения).
- Найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям.
В данной работе рассматривается и
исследуется задача второго типа применительно к
корням квадратного трехчлена, нахождение
которых сводится к решению квадратного
уравнения.
Автор надеется, что данная работа поможет
учителям при разработке уроков и при
подготовке учащихся к ЕГЭ.
1. Что такое параметр
Выражение вида aх
2 + bх + c
в
школьном курсе алгебры называют квадратным
трехчленом относительно х,
где a, b,
c –
заданные действительные числа, причем, a
=/= 0.
Значения переменной х, при которых выражение
обращается в нуль, называют корнями квадратного
трехчлена. Для нахождения корней квадратного
трехчлена, необходимо решить квадратное
уравнение aх
2 + bх + c =
0.
Вспомним из школьного курса алгебры основные
уравнения aх + b =
0;
aх2 + bх + c = 0.
При поиске их корней, значения
переменных a, b, c,
входящих в уравнение
считаются фиксированными и заданными. Сами
переменные называют параметром. Поскольку, в
школьных учебниках нет определения параметра, я
предлагаю взять за основу следующий его
простейший вариант.
Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.
2. Основные типы и методы решения задач с параметрами
Среди задач с параметрами можно выделить следующие основные типы задач.
- Уравнения, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Например. Решить уравнения: aх = 1, (a – 2)х = a 2 – 4.
- Уравнения, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров). Например. При каких значениях параметра a уравнение 4х 2 – 4 aх + 1 = 0 имеет единственный корень?
- Уравнения, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.
Например, найти значения параметра, при которых
корни уравнения (a –
2)х
2
–
2aх
+ a +
3 =
0
положительные.
Основные способы решения задач с параметром:
аналитический и графический.
Аналитический – это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Рассмотрим пример такой задачи.
Задача № 1
При каких значениях параметра а уравнение х 2 – 2aх + a 2 – 1 = 0 имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)?
Решение
х
2 –
2aх + a
2 –
1 = 0.
По условию задачи уравнение должно иметь два
различных корня, а это возможно лишь при условии:
Д > 0.
Имеем: Д = 4a
2 – 2(а
2 – 1) = 4.
Как видим дискриминант не зависит от а,
следовательно, уравнение имеет два различных
корня при любых значениях параметра а. Найдем
корни уравнения: х
1 = а
+ 1, х
2
= а
– 1
Корни уравнения должны принадлежать промежутку
(1; 5), т.е.
Итак, при 2 < а
< 4 данное уравнение имеет
два различных корня, принадлежащих промежутку (1;
5)
Ответ: 2 < а
< 4.
Такой подход к решению задач рассматриваемого
типа возможен и рационален в тех случаях, когда
дискриминант квадратного уравнения «хороший»,
т.е. является точным квадратом какого либо числа
или выражения или корни уравнения можно найти по
теореме обратной т.Виета. Тогда, и корни не
представляют собой иррациональных выражений. В
противном случае решения задач такого типа
сопряжено с достаточно сложными процедурами с
технической точки зрения. Да и решение
иррациональных неравенств требует от ученика
новых знаний.
Графический
– это способ, при котором
используют графики в координатной плоскости (х;у)
или (х;а). Наглядность и красота такого способа
решения помогает найти быстрый путь решения
задачи. Решим задачу № 1 графическим способом.
Как известно из курса алгебры корни квадратного
уравнения (квадратного трехчлена) являются
нулями соответствующей квадратичной функции: У = х
2
– 2ах
+ а
2 – 1. Графиком функции
является парабола, ветви направлены вверх
(первый коэффициент равен 1). Геометрическая
модель, отвечающая всем требованиям задачи,
выглядит так.
Теперь осталось «зафиксировать» параболу в нужном положении необходимыми условиями.
- Так как парабола имеет две точки пересечения с осью х , то Д > 0.
- Вершина параболы находится между вертикальными
прямыми х
= 1 и х
= 5, следовательно
абсцисса вершины параболы х о принадлежит
промежутку (1; 5), т.е.
1 <х о < 5. - Замечаем, что у (1) > 0, у (5) > 0.
Итак, переходя от геометрической модели задачи к аналитической, получаем систему неравенств.
Ответ: 2 < а < 4.
Как видно из примера, графический способ
решения задач рассматриваемого типа возможен в
случае, когда корни «нехорошие», т.е. содержат
параметр под знаком радикала (в этом случае
дискриминант уравнения не является полным
квадратом).
Во втором способе решения мы работали с
коэффициентами уравнения и областью значения
функции у
= х
2 – 2ах
+ а
2
– 1.
Такой способ решения нельзя назвать только
графическим, т.к. здесь приходится решать систему
неравенств. Скорее этот способ комбинированный:
функционально-графический. Из этих двух способов
последний является не только изящным, но и
наиболее важным, так как в нем просматриваются
взаимосвязь между всеми типами математической
модели: словесное описание задачи,
геометрическая модель – график квадратного
трехчлена, аналитическая модель – описание
геометрической модели системой неравенств.
Итак, мы рассмотрели задачу, в которой корни
квадратного трехчлена удовлетворяют заданным
условиям в области определения при искомых
значениях параметра.
А каким еще возможным условиям могут удовлетворять корни квадратного трехчлена при искомых значениях параметра?