Отбор корней в тригонометрических уравнениях неравенством. Решение тригонометрических уравнений

Так как к – целое число, то к=1 . Тогда х = – решение исходного уравнения.

Рассмотрим вторую систему совокупности

Если n=0 , то . При п = -1; -2;… решений не будет.

Если п=1,– решение системы и, следовательно, исходного уравнения.

Если п=2 , то

При решений не будет.

№10 (757) ИЗДАЕТСЯ С 1992 г. mat.1september.ru Тема номера Проверка знаний Наш проект Соревнования Внимание – Творческий Разбор урока Кубок Урала на сильного экзамен «Аксиома ученика параллельных прямых» c. 16 c. 20 c. 44 7 6 5 4 3 ерсия журн яв а на л 2 он а ны е р тель элект лни допо териа лы 1 м а ине те б м ка и чно в Л айте ru на с 1 2 3 4 5 6 0 r. w w be w. 1 m septe октябрь 1september.ru 2014 м а т е м а т и к а Подписка на сайте www.1september.ru или по каталогу «Почта России»: 79073 (бумажная версия); 12717 (CD-версия) 10–11 классы Обучениеотбору С. МУГАЛЛИМОВА, пос. Белый Яр, Тюменская обл. корнейтригоно- метрического уравнения Тригонометрия в школьном курсе математи- ки занимает особое место и традиционно считается трудной и для изложения учителем, и для усвоения учащимися. Это один из разде- лов, изучение которого зачастую воспринимается многими как «ма- тематика ради математики», как изучение материала, не имеющего практикум практической ценности. Между тем тригонометрический аппарат используется во многих приложениях математики и оперирование тригонометрическими функциями необходимо для реализации вну- три- и межпредметных связей в обучении математике. Заметим, что тригонометрический материал создает благодат- ную почву для формирования различных метапредметных уме- ний. Например, обучение отбору корней тригонометрического уравнения и решений тригонометрического неравенства позволя- / ет формировать умение, связанное с поиском решений, удовлетво- м е то д о б ъ е д и н е н и е ряющих заданным условиям. Методика обучения отбору корней опирается на перечисленные ниже факты. Знание: – расположения точек на тригонометрической окружности; – знаков тригонометрических функций; – местоположения точек, соответствующих наиболее распро- страненным значениям углов, и углов, связанных с ними форму- лами приведения; – графиков тригонометрических функций и их свойств. Понимание: – того, что на тригонометрической окружности точка характе- ризуется тремя показателями: 1) углом поворота точки P (1; 0); 2) абсциссой, которая соответствует косинусу этого угла и 3) орди- натой, соответствующей синусу этого угла; – многозначности записи корня тригонометрического уравне- 30 ния и зависимости конкретного значения корня от значения цело- го параметра; – зависимости величины угла поворота радиуса от количества полных оборотов либо от периода функции. Умение: – отмечать на тригонометрической окружности точки, соответ- ствующие положительным и отрицательным углам поворота ра- диуса; – соотносить значения тригонометрических функций с местопо- ложением точки на тригонометрической окружности; математика октябрь 2014 – записывать значения углов поворота точки 3.3. Отметить как можно больше точек, со- P (1; 0), соответствующих симметричным точ- ответствующих данным значениям функции кам на тригонометрической окружности; 1 (например, | sin x | =). – записывать значения аргументов тригоно- 2 метрических функций по точкам графика функ- 3.4. Отметить промежутки, соответствующие ции с учетом периодичности функции, а также заданным ограничениям на значения функции четности и нечетности; 3 1 (например, − ≤ cos x ≤). – по значениям переменных находить соответ- 2 2 ствующие точки на графиках функций; 3.5. При заданных значениях функции и огра- – объединять серии корней тригонометриче- ничениях на значения аргумента отметить соот- ских уравнений. ветствующие точки и записать значения аргу- Таким образом, в процессе изучения тригоно- мента (например, указать на графике и сделать метрического материала необходимо выполнить соответствующие записи для точек, удовлетво- следующие упражнения. 5π ряющих условиям tg x = 3 и −3π < x <). 1. При изучении начал тригонометрии (в пря- 2 моугольном треугольнике) заполнить (и запом- Перечисленные выше действия полезны при нить!) таблицу значений тригонометрических решении задачи С1 ЕГЭ по математике. В этой функций для углов 30°, 45°, 60° и 90°. задаче, помимо решения тригонометрического 2. При введении понятия тригонометрической уравнения, требуется произвести отбор корней, окружности: и для успешного выполнения этого задания на 2.1. Отметить точки, соответствующие по- экзамене, помимо перечисленных знаний и уме- воротам радиуса на 30°, 45°, 60°, затем на 0, ний, ученик должен владеть следующими навы- π 3π π π π π π π 5π 3π ками: , π, 2π, − , − , − , 2 2 6 4 3 6 4 3 6 4 – решать простейшие тригонометрические 2π 7π 5π 4π уравнения и неравенства; , . 3 6 4 3 – применять тригонометрические тождества; 2.2. Записать значения углов для указанных – использовать различные методы решения выше точек с учетом периодичности движения уравнений; по окружности. – решать двойные линейные неравенства; 2.3. Записать значения углов для указанных – оценивать значение иррационального числа. выше точек с учетом периодичности движения Перечислим способы отбора корней в подоб- по окружности при заданных значениях параме- ных заданиях. тра (например, при n = 2, n = –1, n = –5). 2.4. Найти с помощью тригонометрической Способ перевода в градусную меру окружности значения синуса, косинуса, танген- 1 Найти корни уравнения sin x = , удовлетво- са и котангенса для указанных выше углов. 2 2.5. Отметить на окружности точки, соответ-  3π 5π  ряющие условию x ∈  − ;  . ствующие требуемым значениям тригонометри-  2 2  ческих функций. Решение. Корни уравнения имеют вид 2.6. Записать числовые промежутки, удовлет- π x = (−1)n + πn, где n ∈ Z. воряющие заданным ограничениям значения 6 3 2 Это значит, что функции (например, − ≤ sin α ≤). 2 2 x = 30° + 360°жn или x = 150° + 360°жn. 2.7. Подобрать формулу для записи углов, со-  3π 5π  ответствующих нескольким точкам на тригоно- Условие x ∈  − ; можно записать в виде метрической окружности (например, объединить  2 2  π 3π x ∈ [–270°; 450°]. Указанному промежутку при- записи x = ± + 2πn, n ∈ Z, и x = ± + 2πk, k ∈ Z). 4 4 надлежат следующие значения: 3. При изучении тригонометрических функ- ций, их свойств и графиков: 30°, 150°, –210°, 390°. 3.1. Отметить на графике функции точки, со- Выразим величины этих углов в радианах: ответствующие указанным выше значениям ар- π 5π 7π 13π , − , . гументов. 6 6 6 6 3.2. При заданном значении функции (напри- Это не самый изящный способ решения по- мер, ctg x = 1) отметить как можно больше точек добных заданий, но он полезен на первых порах на графике функции и записать соответствую- освоения действия и в работе со слабыми учени- щие значения аргумента. ками. 31 математика октябрь 2014 Способ движения по окружности Способ оценки 3 Решить уравнение Найти корни уравнения tg x = , удовлетво- tg x − 1 3 = 0.  π  − cos x ряющие условию x ∈  − ; 2π  .  2  Решение. Данное уравнение равносильно си- 3 Решение. Корни уравнения tg x = имеют стеме  tg x = 1, π 3  вид x = + πn, n ∈ Z. Потребуем выполнения 6  cos x < 0.  π  условия x ∈  − ; 2π  , для этого решим двойное Отметим на тригонометрической окружности  2  корни уравнения tg x = 1, соответствующие зна- неравенство: π π π 2 5 чениям углов поворота x = + πn, n ∈ Z (рис. 1). − ≤ + πn ≤ 2π, − ≤ n ≤ 1 . 4 2 6 3 6 Выделим также дуги окружности, лежащие во II π 7π Отсюда n = 0 или n = 1. Значит x = или x = . и III координатных четвертях, так как в этих чет- 6 6 вертях выполнено условие cos x < 0. Графический способ 1 Найти корни уравнения sin x = , удовлетво- 2  3π 5π  ряющие условию x ∈  − ;  .  2 2  Решение. Построим график функции y = sin x (рис. 2). Корни данного уравнения являются абс- циссами точек пересечения графика с прямой практикум 1 y= . Отметим такие точки, выделив фрагмент 2  3π 5π  графика на промежутке  − ;  .  2 2  Рис. 1 Из рисунка видно, что решениями системы, а значит, и решениями данного уравнения явля- / π ются значения x = + π(2n + 1), n ∈ Z. м е то д о б ъ е д и н е н и е 4 Рис. 2 Способ перебора Здесь cos x π π 5π π 13π Решить уравнение = 0. x0 = , x1 = π − = , x2 = + 2π = , 16 − x 2 6 6 6 6 6 Решение. Данное уравнение равносильно си- 5π 7π стеме x3 = − 2π = − . 6 6  cos x = 0,  16 − x > 0. 2 Таким образом, на заданном промежутке урав- π нение имеет четыре корня: Из уравнения cos x = 0 получим: x = + πn, n ∈ Z. 2 π 5π 13π 7π , − . Решения неравенства 16 – x2 > 0 принадлежат 6 6 6 6 промежутку (–4; 4). В заключение выделим несколько моментов. Выполним перебор: Умение, связанное с поиском решений, удо- π π 3, 14 влетворяющих заданным значениям аргумента, если n = 0, то x = + π ⋅0 = ≈ ∈(−4; 4); 2 2 2 является важным в решении многих приклад- π 3π 3 ⋅ 3, 14 ных задач, и формировать это умение необходи- если n = 1, то x = + π = ≈ ∉(−4; 4); 2 2 2 мо в процессе изучения всего тригонометриче- если n ≥ 1, то получим значения x, большие 4; ского материала. π π 3, 14 В процессе обучения решению задач, в кото- если n = –1, то x = −π= − ≈ − ∈(−4; 4); 2 2 2 рых требуется отобрать корни тригонометриче- π 3π 3 ⋅ 3, 14 ского уравнения, с учениками следует обсудить если n = –2, то x = − 2π = − ≈− ∉(−4; 4); 2 2 2 разные способы выполнения этого действия, а если n ≤ –2, то получим значения x, меньшие –4. также выяснить случаи, когда тот или иной спо- π π соб может оказаться наиболее удобным или, на- Данное уравнение имеет два корня: и − . 2 2 оборот, непригодным. математика октябрь 2014 32

Простейшие тригонометрические уравнения решаются, как правило, по формулам. Напомню, что простейшими называются вот такие тригонометрические уравнения:

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = а

х - угол, который нужно найти,
а - любое число.

А вот и формулы, с помощью которых можно сразу записать решения этих простейших уравнений.

Для синуса:

Для косинуса:

х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Для тангенса:

х = arctg a + π n, n ∈ Z

Для котангенса:

х = arcctg a + π n, n ∈ Z

Собственно, это и есть теоретическая часть решения простейших тригонометрических уравнений. Причём, вся!) Совсем ничего. Однако, количество ошибок по этой теме просто зашкаливает. Особенно, при незначительном отклонении примера от шаблона. Почему?

Да потому, что масса народу записывает эти буковки, не понимая их смысла совершенно! С опаской записывает, как бы чего не вышло...) С этим надо разобраться. Тригонометрия для людей, или люди для тригонометрии, в конце концов!?)

Разберёмся?

Один угол у нас будет равен arccos a, второй: -arccos a.

И так будет получаться всегда. При любом а.

Если не верите, наведите курсор мышки на картинку, или коснитесь рисунка на планшете.) Я изменил число а на какое-то отрицательное. Всё равно, один угол у нас получился arccos a, второй: -arccos a.

Следовательно, ответ можно всегда записать в виде двух серий корней:

х 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

х 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Объединяем эти две серии в одну:

х= ± arccos а + 2π n, n ∈ Z

И все дела. Получили общую формулу для решения простейшего тригонометрического уравнения с косинусом.

Если вы понимаете, что это не какая-то сверхнаучная мудрость, а просто сокращённая запись двух серий ответов, вам и задания "С" будут по плечу. С неравенствами, с отбором корней из заданного интервала... Там ответ с плюсом/минусом не катит. А если отнестись к ответу делово, да разбить его на два отдельных ответа, всё и решается.) Собственно, для этого и разбираемся. Что, как и откуда.

В простейшем тригонометрическом уравнении

sinx = а

тоже получается две серии корней. Всегда. И эти две серии тоже можно записать одной строчкой. Только эта строчка похитрее будет:

х = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Но суть остаётся прежней. Математики просто сконструировали формулу, чтобы вместо двух записей серий корней, сделать одну. И всё!

Проверим математиков? А то мало ли...)

В предыдущем уроке подробно разобрано решение (безо всяких формул) тригонометрического уравнения с синусом:

В ответе получились две серии корней:

х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Если мы будем решать это же уравнение по формуле, получим ответ:

х = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Вообще-то, это недоделанный ответ.) Ученик обязан знать, что arcsin 0,5 = π /6. Полноценный ответ будет:

х = (-1) n π /6 + π n, n ∈ Z

Тут возникает интересный вопрос. Ответ через х 1 ; х 2 (это правильный ответ!) и через одинокий х (и это правильный ответ!) - одно и то же, или нет? Сейчас узнаем.)

Подставляем в ответ с х 1 значения n =0; 1; 2; и т.д., считаем, получаем серию корней:

х 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 и так далее.

При такой же подстановке в ответ с х 2 , получаем:

х 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 и так далее.

А теперь подставляем значения n (0; 1; 2; 3; 4...) в общую формулу для одинокого х . Т.е возводим минус один в нулевую степень, затем в первую, вторую, и т.д. Ну и, разумеется, во второе слагаемое подставляем 0; 1; 2 3; 4 и т.д. И считаем. Получаем серию:

х = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 и так далее.

Вот всё и видно.) Общая формула выдаёт нам точно такие же результаты, что и два ответа по отдельности. Только все сразу, по порядочку. Не обманули математики.)

Формулы для решения тригонометрических уравнений с тангенсом и котангенсом тоже можно проверить. Но не будем.) Они и так простенькие.

Я расписал всю эту подстановку и проверку специально. Здесь важно понять одну простую вещь: формулы для решения элементарных тригонометрических уравнений есть, всего лишь, краткая запись ответов. Для этой краткости пришлось вставить плюс/минус в решение для косинуса и (-1) n в решение для синуса.

Эти вставки никак не мешают в заданиях, где нужно просто записать ответ элементарного уравнения. Но если надо решать неравенство, или далее нужно что-то делать с ответом: отбирать корни на интервале, проверять на ОДЗ и т.п, эти вставочки могут запросто выбить человека из колеи.

И что делать? Да либо расписать ответ через две серии, либо решать уравнение/неравенство по тригонометрическому кругу. Тогда исчезают эти вставочки и жизнь становится легче.)

Можно подвести итоги.

Для решения простейших тригонометрических уравнений существуют готовые формулы ответов. Четыре штуки. Они хороши для мгновенной записи решения уравнения. Например, надо решить уравнения:

sinx = 0,3

Легко: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Без проблем: х = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Запросто: х = arctg 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Одной левой: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Если вы, блистая знаниями, мгновенно пишете ответ:

х= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

то блистаете вы уже, это... того... из лужи.) Правильный ответ: решений нет. Не понимаете, почему? Прочитайте, что такое арккосинус. Кроме того, если в правой части исходного уравнения стоят табличные значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 и т.п. - ответ через арки будет недоделанным. Арки нужно обязательно перевести в радианы.

А если уж вам попалось неравенство, типа

то ответ в виде:

х πn, n ∈ Z

есть редкая ахинея, да...) Тут надо по тригонометрическому кругу решать. Чем мы и займёмся в соответствующей теме.

Для тех, кто героически дочитал до этих строк. Я просто не могу не оценить ваши титанические усилия. Вам бонус.)

Бонус:

При записи формул в тревожной боевой обстановке, даже закалённые учёбой ботаны частенько путаются, где πn, а где 2π n. Вот вам простой приёмчик. Во всех формулах стоит πn. Кроме единственной формулы с арккосинусом. Там стоит 2πn. Два пиэн. Ключевое слово - два. В этой же единственной формуле стоят два знака в начале. Плюс и минус. И там, и там - два.

Так что, если вы написали два знака перед арккосинусом, легче вспомнить, что в конце будет два пиэн. А ещё наоборот бывает. Пропустит человек знак ± , доберётся до конца, напишет правильно два пиэн, да и спохватится. Впереди-то два знака! Вернётся человек к началу, да ошибку-то и исправит! Вот так.)

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.