Интерполяция функции методом лагранжа. Интерполяционная формула лагранжа. Приближение функций, заданных таблично

Подходящие кривые и поверхности к данным с помощью регрессии, интерполяции и сглаживания

Curve Fitting Toolbox™ предоставляет приложение и функции для подбора кривой кривым и поверхностям к данным. Тулбокс позволяет вам выполнить исследовательский анализ данных, предварительно обработать и постобработать данные, сравнить модели кандидата и удалить выбросы. Можно провести регрессионный анализ, пользующийся библиотекой линейных и нелинейных предоставленных моделей, или задать собственные уравнения. Библиотека обеспечивает оптимизированные параметры решателя и стартовые условия улучшить качество ваших подгонок. Тулбокс также поддерживает непараметрические техники моделирования, такие как сплайны, интерполяция и сглаживание.

После создания подгонки можно применить множество методов последующей обработки для графического вывода, интерполяции и экстраполяции; оценка доверительных интервалов; и вычисляя интегралы и производные.

Начало работы

Изучите основы Curve Fitting Toolbox

Линейная и нелинейная регрессия

Подходящие кривые или поверхности с линейными и нелинейными моделями библиотеки и пользовательскими моделями

Интерполяция

Подходящие кривые интерполяции или поверхности, оцените значения между известными точками данных

Сглаживание

Подходящее сглаживание использования шлицует и локализованная регрессия, сглаженные данные со скользящим средним значением и другими фильтрами

Подходящая постобработка

Графический вывод, выбросы, невязки, доверительные интервалы, данные о валидации, интегралы и производные, генерирует код MATLAB ®

Сплайны

Создайте сплайны с или без данных; ppform, B-форма, продукт тензора, рациональный, и сплайны тонкой пластины stform

n - количество узлов.

Задача интерполяции - найти функцию , принимающую в точках те же значения .

При этом предполагается, что среди значений нет одинаковых. Точки называют узлами интерполяции. Узлы интерполяции не обязательно должны располагаться равномерно на отрезке [ .

Функция называется интерполянтом функции .

Если значение ищется на интервале [ , то эту задачу принято называть задачей интерполяции, а если за пределами этого интервала, то это задачей экстраполяции.

Задача имеет много решений, т.к. через заданные точки, i=0, 1,..., n, можно провести бесконечно много кривых, каждая из которых будет графиком функции, для которой выполнены все условия (1.2).

В зависимости от цели приближения используют либо интерполяцию (точечную аппроксимацию), либо аппроксимацию. Аппроксимация – это замена таблично заданной функции функцией , которая на рассматриваемом отрезке имеет ограниченное отклонение от функции .

Условие интерполяции:

(1.2)

Где а – вектор неизвестных коэффициентов.

Обычно вид известен заранее. Чтобы решить задачу интерполяции необходим коэффициент .

Решить задачу интерполяции - значит найти при заданных и .

В общем виде система представляет систему нелинейных уравнений и при больших n часто не имеет решений.

Первым методом решений задачи интерполяции является метод Лагранжа.

Простейшим и наиболее часто применяемым функцией является полином:

где , , , …, – коэффициент полинома,

m – степень аппроксимирующего многочлена.

Интерполирование состоит в приближённой замене функции , заданной таблично, функцией , которая принимает те же значения, что и функция .

Все методы интерполяции можно разделить на локальные и глобальные. В случае глобальной интерполяции отыскивается единый полином на всем интервале [ . Методы глобальной интерполяции обычно применяют для функций, заданных небольшим количеством точек, т. к. при увеличении количества точек увеличивается порядок интерполирующего многочлена, что отрицательно сказывается на гладкости получаемой функции. Многочленная аппроксимация, использующая сразу все узлы таблицы (глобальная интерполяция) имеет существенный недостаток – возможность появления больших экстремумов в промежутках между узлами сетки. Т.е. интерполяционный полином может иметь колебания, не свойственные исходным данным. Кроме того, с ростом степени полинома происходит быстрое накопление ошибок округления. Чтобы избежать этих нежелательных эффектов, на практике применяют локальную интерполяцию. . В случае локальной интерполяции на каждом интервале строится отдельный полином. Для локальной интерполяции количество узлов большого значения не имеет.

Рассмотрим некоторые виды локальной и глобальной интерполяции.

Локальная интерполяция:

1. Кусочно-линейная интерполяция

2. Интерполяция сплайнами

Глобальная интерполяция:

1. Полином Лагранжа

2. Многочлен Ньютона

ГЛОБАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

Интерполяция полиномом Лагранжа

При глобальной интерполяции на всем интервале строится единый многочлен. Одной из форм записи интерполяционного многочлена для глобальной интерполяции является многочлен Лагранжа:

Интерполяционный полином Лагранжа n-ой степени есть линейная комбинация базисных полиномов Лагранжа:

То есть многочлен Лагранжа:

(2.3)

Многочлен удовлетворяет условию

Это условие означает, что многочлен равен нулю при каждом кроме , то есть , , … , – корни этого многочлена. Таким образом, степень многочлена равна n и при в сумме обращаются в нуль все слагаемые, кроме слагаемого с номером i=j, равного .

Принимает значение 1 в точке и 0 в остальных узлах интерполяции. Следовательно в точке исходный полином принимает значение

(2.4)

Выражение (2.1) применимо как для равноотстоящих, так и для не равноотстоящих узлов.

Многочлен Лагранжа в явном виде содержит значения функций в узлах интерполяции, поэтому он удобен, когда значения функций меняются, а узлы интерполяции неизменны. Число арифметических операции, необходимых для построения многочлена Лагранжа, пропорционально и является наименьшим для всех форм записи. К недостаткам этой формы записи можно отнести то, что с изменением числа узлов приходится все вычисление проводить заново.

2.2. Многочлен Ньютона

Пусть функция g(x) задана с произвольным шагом и точки таблицы значений занумерованы в произвольном порядке.

Многочлен Ньютона во многом опирается на понятие разделенных разностей.

Разделенные разности нулевого порядка совпадают со значениями функции в узлах. Разделенные разности первого порядка определяются через разделенные разности нулевого порядка:

Разделенные разности k-го порядка определяются через разделенную разность порядка :

Для повышения точности интерполяции в сумму могут быть добавлены новые члены, что требует подключения дополнительных узлов. При этом для формулы Ньютона безразлично, в каком порядке подключаются новые узлы, в то время как для многочлена Лагранжа при добавлении новых узлов все расчеты надо производить заново.

Предположим, что необходимо увеличить степень многочлена на единицу, добавив в таблицу еще один узел . Для вычисления достаточно добавить к лишь одно слагаемое

ЛОКАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

3.1. Кусочно-линейная интерполяция.

Одним из самых используемых и простейших видов локальной интерполяции, является кусочно-линейная интерполяция, при которой каждые две точки и табличной функции соединяются отрезками прямой (т.е. проводится полином первой степени)

Кусочно-линейная интерполяция является самой простой, и поэтому довольно часто применяется для расчета значений между узлами интерполяции. Для построения интерполирующей зависимости, используемой в дальнейших научных и инженерных расчетах, обычно используются более сложные методы интерполяции.

3.2. Интерполяция сплайнами

Иногда требуется обеспечить непрерывность не только интерполирующей функции, но и нужного количества её производных для этого прибегают к интерполяции сплайнами.

Сплайн – функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с алгебраическим многочленом. Максимальная степень из использованных полиномов называется степенью сплайна.

Преимущества интерполяции сплайнами по сравнению с обычными методами интерполяции – в сходимости и устойчивости вычислительного процесса. На практике наиболее часто используются кубические сплайны – сплайны третьей степени с непрерывной, по крайней мере, первой производной. При этом величина , называется наклоном сплайна в точке (узле) .

Разобьём отрезок на N равных отрезков [ , ], где , i=0,1,…,N-1.

Если в узлах , , заданы значения , которые принимает кубический сплайн, то на частичном отрезке [ , ] он принимает вид:

В самом деле, это легко проверить, рассчитав и в точках ,

Можно доказать, что если многочлен третьей степени, принимает в точках , значения , и имеет в этих точках производные, соответственно, , , то он совпадает с многочленом (3.3).

Таким образом, для того, чтобы задать кубический сплайн на отрезке, необходимо задать значения , i=0,1…,N в N+1 в узле .

ОШИБКА ИНТЕРПОЛЯЦИИ

При интерполяции функции всегда получают ошибку состоящую из погрешности самого метода и ошибок округления.

Ошибка приближения функции интерполяционным полиномом n-й степени в точке xопределяется разностью.

Здесь – производная (n+1) порядка функции в некоторой точке, а функция определена как

то для погрешности интерполяции следует оценка.

(4.4)

Конкретная величина погрешности в точке x зависит, очевидно, от значения функции в этой точке. Качественный характер зависимости показан на рисунке 2.

Из рисунка видно, что погрешность интерполяции тем выше, чем ближе точка x лежит к концам отрезка. За пределами отрезка интерполяции (т.е.

при экстраполяции) быстро растет, поэтому погрешность возрастает существенно.

Рисунок 2

Вследствие описанного поведения погрешности, глобальная интерполяция в некоторых случаях может давать совершенно неудовлетворительный результат.

5. ПРИМЕР ИНТЕРПОЛЯЦИИ ФУНКЦИИ МНОГОЧЛЕНАМИ ЛАГРАНЖА И НЬЮТОНА

Для нахождения многочлена, принимающего в конкретных точках нужные значения, может использоваться пакет Mathcad. В качестве примера рассмотрим задачу на нахождение многочлена Лагранжа удовлетворяющего приведенным исходным данным.

Построим многочлен Лагранжа в пакете Mathcad:

Исходные данные:

4.3 Интерполяция функции многочленами Лагранжа

Рассмотрим другой подход к приближению функции многочленами. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке и известны значения этой функции в некоторой системе узлов x i Î , i = 0, 1, … , n. Например, эти значения получены в эксперименте при наблюдении некоторой величины в определенных точках или в определенные моменты времени x 0 , x 1 , … , x n . Обозначим эти значения следующим образом: y i = f(x i), i = 0, 1, … , n. Требуется найти такой многочлен P(x) степени m,

P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a m x m , (4.5)

который бы в узлах x i , i = 0, 1, … , n принимал те же значения, что и исходная функция y = f(x), т. е.

P(x i) = y i , i = 0, 1, … , n. (4.6)

Многочлен (4.5), удовлетворяющий условию (4.6), называется интерполяционным многочленом.

Другими словами, ставится задача построения функции y = P(x), график которой проходит через заданные точки (x i , y i), i = 0, 1, … , n (рис. 4.1).

Объединяя (4.5) и (4.6), получим:

a 0 + a 1 x i + a 2 x + … + a m x = y i ,i = 0, 1, … , n. (4.7)

В искомом многочлене P(x) неизвестными являются m +1 коэффициент a 0 , a 1 , a 2 , …, a m . Поэтому систему (4.7) можно рассматривать как систему из n +1 уравнений с m +1 неизвестными. Известно, что для существования единственного решения такой системы необходимо, чтобы выполнялось условие: m = n. Таким образом, систему (4.7) можно переписать в развернутом виде:

a 0 + a 1 x 0 + a 2 x + … + a n x = y 0

a 0 + a 1 x 1 + a 2 x + … + a n x = y 1

a 0 + a 1 x 2 + a 2 x + … + a n x = y 2 (4.8)

a 0 + a 1 x n + a 2 x + … + a n x = y n

Вопрос о существовании и единственности интерполяционного многочлена решает следующая теорема:

Теорема 4.1. Существует единственный интерполяционный многочлен степени n, удовлетворяющий условиям (4.6).

Имеются различные формы записи интерполяционного многочлена. Широко распространенной формой записи является многочлен Лагранжа

L n (x) = = . (4.9)

В частности, для линейной и квадратичной интерполяции по Лагранжу получим следующие интерполяционные многочлены:

L 1 (x) = y 0+ y 1,

L 2 (x) = y 0 +y 1 + y 2 .

Пример 4.3.

Построим интерполяционный многочлен Лагранжа по следующим данным:

Степень многочлена Лагранжа для n +1 узла равна n. Для нашего примера многочлен Лагранжа имеет третью степень. В соответствии с (4.9)

L 3 (x) = 1+3 + 2 + 5 = 1 + x – x 2 + x 3 .

Пример 4.4.

Рассмотрим пример использования интерполяционного многочлена Лагранжа для вычисления значения заданной функции в промежуточной точке. Эта задача возникает, например, когда заданы табличные значения функции с крупным шагом, а требуется составить таблицу значений с маленьким шагом.

Для функции y = sinx известны следующие данные.

Вычислим y(0.25).

Найдем многочлен Лагранжа третьей степени:

L 3 (x) = 0 + +

+ 1.

При x = 0.25 получим y(0.25) = sin 0.25 » 0.249.

Погрешность интерполяции. Пусть интерполяционный многочлен Лагранжа построен для известной функции f(x). Необходимо выяснить, насколько этот многочлен близок к функции в точках отрезка , отличных от узлов. Погрешность интерполяции равна |f(x) – P n (x)|. Оценку погрешности можно получить на основании следующей теоремы.

Теорема 4.2. Пусть функция f(x) дифференцируема n +1 раз на отрезке , содержащем узлы интерполяции x i Î , i = 0, 1, … , n. Тогда для погрешности интерполяции в точке x Î справедлива оценка:

|f(x) – L n (x)|£ |w n+ 1 (x)|, (4.10)

M n+ 1 = |f (n+1) (x)|,

w n+ 1 (x) = (x – x 0)(x – x 1)…. (x – x n).

Для максимальной погрешности интерполяции на всем отрезке справедлива оценка:

|f(x) – L n (x)| £ |w n (x)| (4.11)

Пример 4.5.

Оценим погрешность приближения функции f(x) = в точке x = 116 и на всем отрезке , где a = 100, b = 144, с помощью интерполяционного много члена Лагранжа L 2 (x) второй степени, построенного с узлами x 0 = 100, x 2 = 144.

Найдем первую, вторую и третью производные функции f(x):

f "(x)= x – 1/2 , f "(x)= – x –3/2 , f"""(x)= x –5/2 .

M 3 = | f"""(x)| = 100 –5/2 = 10 –5 .

В соответствии с (4.9) получим оценку погрешности в точке x = 116.

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ

При исследовании явлений природы с помощью математического аппарата используются различные функции.

Функции могут задаваться различными способами. Простейший из них – задание аналитического выражения, которое дает возможность по любым допустимым значениям аргумента вычислить значение функции. На практике такие случаи бывают весьма редко.

Часто функции определяются бесконечными рядами. Вычисление значений функции с помощью бесконечного ряда – довольно громоздкая операция, требующая сходимости и достаточного количества членов ряда.

Функция может быть представлена неопределенным интегралом или дифференциальным уравнением.

Во всех случаях, когда значения функции либо невозможно точно вычислить, либо вычисление слишком громоздко, прибегают к составлению таблиц функции, если эта функция встречается в различных задачах. Таким образом, мы приходим к табличному заданию функции, то есть такому, когда функция
определяется таблицей своих значений при заданных значениях аргументов , i=1,2,…n:

Табличные значения функции и аргумента называют узлами таблицы .

Разность двух соседних значений аргумента называется шагом таблицы
. Если эта разность изменяется, то таблица называется таблицей с переменным шагом, если разность неизменна, то это таблица с постоянным шагом. Стараются строить таблицы с постоянным шагом. Шаг, вообще говоря, не может быть очень малым, иначе сильно возрастает объем таблицы.

Обычно таблица располагается так, что аргумент (например, время) возрастает.

При решении задач естествознания, как правило, приходится иметь дело со случаями, когда нужны значения функции не только для табличных значений аргумента (узлов). Так, например, часто требуется знать координаты Солнца относительно Земли, но почти всегда не в 0 h Всемирного времени, как дается в Астрономическом ежегоднике, а в определенные промежуточные моменты.

Поэтому имеет большое практическое значение следующая задача: дана табличная функция; необходимо найти способ приближенного определения значений функции для произвольных значений аргумента, не совпадающих с узлами таблицы.

Если значение аргумента задано внутри области табличных значений аргумента, то указанную задачу называют задачей интерполяции ; если же значение аргумента задано вне табличной области, то говорят об экстраполяции .

Интерполирование по табличной функции сводится к приближению табличной функции другой, легко вычисляемой функцией. Выражение для этой легко вычисляемой функции используется для интерполяции: заданное значение аргумента подставляется в нее и производятся вычисления.

Построение приближения табличной функции представляет неопределенную задачу и требует дополнительных соглашений.

Во-первых, надо условиться относительно класса функций, используемых для приближения. Очевидно, желательна возможность легкого вычисления функции по заданному значению аргумента. Этому условию удовлетворяют алгебраические полиномы , которые чаще всего и используются для приближения.

Если табличная функция периодическая и приближение нужно в области, охватывающей весь период, то используют тригонометрические полиномы . Когда периодическую функцию нужно приблизить только на небольшой части периода, то обычно используют алгебраические полиномы.

Во-вторых, надо потребовать, чтобы приближение было возможно лучшим. Что значит «лучшим»? На практике употребляют различные критерии наилучшего приближения. Мы примем такой: приближающий полином, который должен точно представлять узлы таблицы. То есть интерполяционный полином должен на графике пройти через все точки (узлы) табличной функции. По этой причине интерполяция с указанным условием называется точечной интерполяцией .

Если какая-либо величина изменяется пропорционально времени, то разность значений через равные промежутки времени постоянна. В этом случае, можно применить простейшее линейное интерполирование.

Если за 24 часа величина Х изменяется равномерно на , то ее значение для момента t часов, прошедших после момента t 0 равно

.

Но такого практически никогда не бывает, разность соседних значений в таблице изменяется, и иногда сложным образом. Можно допустить линейное интерполирование, если не требуется большой точности. Но если надо получить значение табличной функции с той же точностью, что и в узлах, то, согласно принятым соглашениям, надо строить интерполяционный полином.

Интерполяционный полином Лагранжа

Предположим, имеется таблица из двух столбцов
,
,
. Требуется найти полином низшей степени, который принимает значениядля каждого аргумента:
, то есть совпадающий со значениями табличной функции в узлах. Приближенно будем считать, что для любого значения аргументаt
,
. Подобное приближенное равенство называют интерполяционной формулой. Итак, надо найти интерполяционную формулу, а затем оценить ее погрешность.

Найдем, прежде всего, полином (многочлен), который принимает значение 1 в одной узловой точке и 0 во всех других. Очевидно несложная функция

,

где штрих у знака произведения означает
, является требуемым полиномом степениn-1.

Заметим, что через n точек однозначно можно провести полином степени не выше n-1, например, через 2 точки можно однозначно провести прямую (кривую 1-го порядка), через 3 точки – параболу (кривую 2-го порядка) и т.д.

Легко проверить, что
равен 1, если
; и 0, когда
. Домножим
на, полученный полином
принимает значениев j-й узловой точке и равен нулю во всех других узлах. Поэтому сумма таких полиномов будет принимать значениядля аргумента:

,

Отметим: j – порядковый номер промежуточного полинома
в сумме, строящей полином Лагранжа;i – номер любого узла таблицы.

В общем случае

Это и есть искомый полином степени n-1, проходящий через все n узлов таблицы
:
,
.

Впервые интерполяционный полином Лагранжа был опубликован в 1795 году.

Подчеркнем: если дано n узловых точек, то соответствующий полином степени n-1, проходящий через эти точки, однозначно (в пределах ошибок округления) определен, независимо от способа построения и системы обозначений. Если используются разные узловые точки, то, конечно, полиномы могут быть различными, но одинаковые узловые точки должны приводить к одинаковым полиномам (в пределах ошибок округления).

Потребовав, чтобы полином принимал значения для каждого аргумента, мы построили полином Лагранжа. Если потребовать, чтобы полином принимал не только значения табличной функции в узлах, но и первая производная от полинома была равна первой производной табличной функции в узлах, то мы построим полином Эрмита.

Пример . Дана таблица

n=2. Согласно
;

Согласно
;
.

. Подставляя числа

.

Это интерполяционный полином 1-го порядка – прямая.

Для t = 2, L = 4.5.

Пример . Дана таблица

Построить интерполяционный полином Лагранжа и найти значение L (2).

n=3. Согласно ;

Согласно

.

Это интерполяционный полином 2-го порядка – парабола.

Для t = 2, L = 7.33.

На этом рисунке показан график полинома Лагранжа, построенного по 5-ти узлам – полином 4-го порядка.

На этом рисунке показан график полинома Лагранжа, построенного по 8-ти узлам – полином 7-го порядка.

Из рисунков видно, что значения табличной функции между узлами полиномом Лагранжа представляются неудовлетворительно. Кроме того, полином Лагранжа неудобен для практического использования. На практике обычно известна требуемая точность результата, а множество используемых узлов можно выбирать.

Будем строить интерполяционный полином в виде

где – многочлены степени не выше п, обладающие следующим свойством:

Действительно, в этом случае полином (4.9) в каждом узле x j , j=0,1,…n , равен соответствующему значению функции y j , т.е. является интерполяционным.

Построим такие многочлены. Поскольку при x=x 0 ,x 1 ,…x i -1 ,x i +1 ,…x n , можно следующим образом разложить на множители

где с – постоянная. Из условия получим, что

Интерполяционный полином (4.1), записанный в форме

называют интерполяционным полиномом Лагранжа.

Приближенное значение функции в точке x * , вычисленное с помощью полинома Лагранжа, будет иметь остаточную погрешность (4.8). Если значения функции y i в узлах интерполирования x i заданы приближенно с одинаковой абсолютной погрешностью , то вместо точного значения будет вычислено приближенное значение , причем

где – вычислительная абсолютная погрешность интерполяционного полинома Лагранжа. Окончательно имеем следующую оценку полной погрешности приближенного значения .

В частности, полиномы Лагранжа первой и второй степени будут иметь вид

а их полные погрешности в точке x *

Существуют другие формы записи того же интерполяционного полинома (4.1), например, рассматриваемая далее интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями и ее варианты. При точных вычислениях значения Рn(х *) , получаемые по различным интерполяционным формулам, построенным по одним и тем же узлам, совпадают. Наличие же вычислительной погрешности приводит к различию получаемых по этим формулам значений. Запись многочлена в форме Лагранжа приводит, как правило, к меньшей вычислительной погрешности .

Использование формул для оценки погрешностей, возникающих при интерполировании, зависит от постановки задачи. Например, если известно количество узлов, а функция задана с достаточно большим количеством верных знаков, то можно поставить задачу вычисления f(x *) с максимально возможной точностью. Если, наоборот, количество верных знаков небольшое, а количество узлов велико, то можно поставить задачу вычисления f(x *) с точностью, которую допускает табличное значение функции, причем для решения этой задачи может потребоваться как разрежение, так и уплотнение таблицы.

§4.3. Разделенные разности и их свойства.

Понятие разделенной разности является обобщенным понятием производной. Пусть в точках x 0 , x 1 ,…x n заданы значения функций f(x 0), f(x 1),…,f(x n) . Разделенные разности первого порядка определяются равенствами

разделенные разности второго порядка – равенствами,

а разделенные разности k -го порядка определяются следующей рекуррентной формулой:

Разделенные разности обычно помещаются в таблицу следующего вида:

Рассмотрим следующие свойства разделенных разностей.

1. Разделенные разности всех порядков являются линейными комбинациями значений f(x i) , т.е. имеет место следующая формула:

Докажем справедливость этой формулы индукцией по порядку разностей. Для разностей первого порядка

Формула (4.12) справедлива. Предположим теперь, что она справедлива для всех разностей порядка .

Тогда, согласно (4.11) и (4.12) для разностей порядка k=п+1 имеем

Слагаемые, содержащие f(x 0) и f(x n +1) , имеют требуемый вид. Рассмотрим слагаемые, содержащие f(x i) , i=1, 2, …,n . Таких слагаемых два - из первой и второй сумм:

т.е. формула (4.12) справедлива для разности порядка k=п+1 , доказательство закончено.

2. Разделенная разность есть симметрическая функция своих аргументов x 0 , x 1 ,…x n (т.е. не меняется при любой их перестановке):

Это свойство непосредственно следует из равенства (4.12).

3. Простую связь разделенной разности f и производной f (n) (x) дает следующая теорема.

Пусть узлы x 0 , x 1 ,…x n принадлежат отрезку и функция f(x) имеет на этом отрезке непрерывную производную порядка п . Тогда существует такая точка xÎ , что

Докажем сначала справедливость соотношения

Согласно (4.12) выражение в квадратных скобках есть

f .

Из сравнения (4.14) с выражением (4.7) для остаточного члена R n (x)=f(x)-L n (x) получим (4.13), теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает простое следствие. Для полинома п -ой степени

f(x) = a 0 x n +a 1 x n -1 +…a n

производная порядка п , очевидно, есть

и соотношение (4.13) дает для разделенной разности значение

Итак, у всякого многочлена степени п разделенные разности порядка п равны постоянной величине – коэффициенту при старшей степени многочлена. Разделенные разности высших порядков
(больше п ), очевидно, равны нулю. Однако этот вывод справедлив лишь в случае отсутствия вычислительной погрешности у разделенных разностей.

§4.4. Интерполяционный полином Ньютона с разделенными разностями

Запишем интерполяционный полином Лагранжа в следующем виде:

где L 0 (x) = f(x 0)=y 0 , а L k (x) – интерполяционный полином Лагранжа степени k , построенный по узлам x 0 , x 1 , …,x k . Тогда есть полином степени k , корнями которого являются точки x 0 , x 1 , …,x k -1 . Следовательно, его можно разложить на множители

где A k – постоянная.

В соответствии с (4.14) получим

Сравнивая (4.16) и (4.17) получим, что и (4.15) примет вид

который носит название интерполяционного полинома Ньютона с разделенными разностями.

Этот вид записи интерполяционного полинома более нагляден (добавлению одного узла соответствует появление одного слагаемого) и позволяет лучше проследить аналогию проводимых построений с основными построениями математического анализа.

Остаточная погрешность интерполяционного полинома Ньютона выражается формулой (4.8), но ее, с учетом (4.13), можно записать и в другой форме

т.е. остаточная погрешность может быть оценена модулем первого отброшенного слагаемого в полиноме N n (x *).

Вычислительная погрешность N n (x *) определится погрешностями разделенных разностей. Узлы интерполяции, лежащие ближе всего к интерполируемому значению x * , окажут большее влияние на интерполяционный полином, лежащие дальше – меньшее. Поэтому целесообразно, если это возможно, за x 0 и x 1 взять ближайшие к x * узлы интерполирования и произвести сначала линейную интерполяцию по этим узлам. Затем постепенно привлекать следующие узлы так, чтобы они возможно симметричнее располагались относительно x * , пока очередной член по модулю не будет меньше абсолютной погрешности входящей в него разделенной разности.