Что называется силовой линией электростатического поля. Свойства силовых линий электрического поля. Силовые линии электрического поля

9.4. Силовые линии электростатического поля

Для наглядного графического представления поля удобно использовать силовые линии - направленные линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности электрического поля (рис. 153).

Согласно определению силовые линии электрического поля обладают рядом общих свойств (сравните со свойствами линий тока жидкости):

Силовые линии не пересекаются (в противном случае, в точке пересечения можно построить две касательных, то есть в одной точке, напряженность поля имеет два значения, что абсурдно).
Силовые линии не имеют изломов (в точке излома опять можно построить две касательных).
Силовые линии электростатического поля начинаются и заканчиваются на зарядах.

Так напряженность поля определена в каждой пространственной точке, то силовую линию можно провести через любую пространственную точку. Поэтому число силовых линий бесконечно велико. Число линий, которые используются для изображения поля, чаще всего определяется художественным вкусом физика-художника. В некоторых учебных пособиях рекомендуется строить картину силовых линий так, чтобы их густота была больше там, где напряженность поля больше. Это требование не является строгим, и не всегда выполнимым, поэтому силовые линии рисуют, удовлетворяя сформулированным свойствам 1-3.

Очень просто построить силовые линии поля создаваемого точечным зарядом. В этом случае силовые линии представляют собой набор прямых, выходящих (для положительного), или входящих (для отрицательных) в точку расположения заряда (рис. 154). Такие семейства силовых линий полей точечных зарядов демонстрируют, что заряды являются источниками поля, по аналогии с источниками и стоками поля скоростей жидкости. Доказательство того, что силовые линии не могут начинаться или заканчиваться в тех точках, где заряды отсутствуют, мы проведем позднее.

Картину силовых линий реальных полей можно воспроизвести экспериментально.

В невысокий сосуд следует влить небольшой слой касторового масла и всыпать в него небольшую порцию манной крупы. Если масло с крупой поместить в электростатическое поле, то крупинки манной крупы (они имеют слега вытянутую форму) поворачиваются по направлению напряженности электрического поля и выстраиваются приблизительно вдоль силовых линий, по прошествии нескольких десятков секунд в чашке вырисовывается картина силовых линий электрического поля. Некоторые такие «картинки» представлены на фотографиях. Также можно провести теоретический расчет и построение силовых линий. Правда, эти расчеты требуют громадного числа вычислений, поэтому реально (и без особого труда) проводятся с использованием компьютера, чаще всего такие построения выполняются в некоторой плоскости.

При разработке алгоритмов расчета картины силовых линий встречается ряд проблем, требующих своего разрешения. Первая такая проблема - расчет вектора поля. В случае электростатических полей, создаваемых заданным распределением зарядов, эта проблема решается с помощью закона Кулона и принципа суперпозиции. Вторая проблема - метод построения отдельной линии. Идея простейшего алгоритма, решающего данную задачу, достаточна очевидна. На малом участке каждая линия практически совпадает со своей касательной, поэтому следует построить множество отрезков касательных к силовым линиям, то есть отрезков малой длины l , направление которых совпадает с направлением поля в данной точке. Для этого необходимо, прежде всего, рассчитать компоненты вектора напряженности в заданной точке E x , E y и модуль этого вектора \(~E = \sqrt{E^2_x + E^2_y}\) . Затем можно построить отрезок малой длины, направление которого совпадает с направлением вектора напряженности поля. Его проекции на оси координат вычисляются по формулам, которые следуют из рис. 155\[~\Delta x = l \frac{E_x}{E} ; \Delta y = l \frac{E_y}{E}\] . Затем следует повторить процедуру, начиная с конца построенного отрезка. Конечно, при реализации такого алгоритма встречаются и другие проблемы, носящие скорее технический характер.

Теорема Остроградского–Гаусса, которую мы докажем и обсудим позже, устанавливает связь между электрическими зарядами и электрическим полем. Она представляет собой более общую и более изящную формулировку закона Кулона.

В принципе, напряженность электростатического поля, создаваемого данным распределением зарядов, всегда можно вычислить с помощью закона Кулона. Полное электрическое поле в любой точке является векторной суммой (интегральным) вкладом всех зарядов, т.е.

Однако, за исключением самых простых случаев, вычислить эту сумму или интеграл крайне сложно.

Здесь приходит на помощь теорема Остроградского-Гаусса, с помощью которой гораздо проще удается рассчитать напряженность электрического поля, создаваемая данным распределением зарядов.

Основная ценность теоремы Остроградского-Гаусса состоит в том, что она позволяет глубже понять природу электростатического поля и устанавливает более общую связь между зарядом и полем .

Но прежде, чем переходить к теореме Остроградского-Гаусса необходимо ввести понятия: силовые линии электростатического поля и поток вектора напряженности электростатического поля .

Для того чтобы описать электрическое поле, нужно задать вектор напряженности в каждой точке поля. Это можно сделать аналитически или графически. Для этого пользуются силовыми линиями – это линии, касательная к которым в любой точке поля совпадает с направлением вектора напряженности (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Силовой линии приписывают определенное направление – от положительного заряда к отрицательному, или в бесконечность.

Рассмотрим случай однородного электрического поля .

Однородным называется электростатическое поле, во всех точках которого напряженность одинакова по величине и направлению , т.е. Однородное электростатическое поле изображается параллельными силовыми линиями на равном расстоянии друг от друга (такое поле существует, например, между пластинами конденсатора) (рис. 2.2).

В случае точечного заряда, линии напряженности исходят из положительного заряда и уходят в бесконечность; и из бесконечности входят в отрицательный заряд. Т.к. то и густота силовых линий обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда. Т.к. площадь поверхности сферы, через которую проходят эти линии сама возрастает пропорционально квадрату расстояния, то общее число линий остается постоянным на любом расстоянии от заряда.

Для системы зарядов, как видим, силовые линии направлены от положительного заряда к отрицательному (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Из рисунка 2.3 видно, так же, что густота силовых линий может служить показателем величины .

Густота силовых линий должна быть такой, чтобы единичную площадку, нормальную к вектору напряженности пересекало такое их число, которое равно модулю вектора напряженности , т.е.

В пространстве, окружающем заряд, который является источником, прямо пропорционально количеству этого заряда и обратно квадрату расстояние от этого заряда. Направление электрического поля согласно принятым правилам всегда от положительного заряда в сторону отрицательного заряда. Это можно представить как если поместить пробный заряд в область пространства электрического поля источника и этот пробный заряд будет либо отталкиваться, либо притягиваться (в зависимости от знака заряда). Электрическое поле характеризуется напряженностью , которое являясь векторной величиной может быть представлено графически в виде стрелки имеющей длину и направление. В любом месте направление стрелки указывает направление напряженности электрического поля E , или просто - направление поля, а длина стрелки пропорциональна численной величине напряженности электрического поля в этом месте. Чем дальше область пространства от источника поля (заряда Q ), тем меньше длина вектора напряженности. Причем длина вектора уменьшается при удалении в n раз от некоего места в n 2 раз, то есть обратно пропорционально квадрату.

Более полезным средством визуального представления векторного характера электрического поля является использование такого понятия как , или просто - силовые линии. Вместо того, чтобы изображать бесчисленные векторных стрелки в пространстве, окружающие заряд-источник, оказалось полезным объединить их в линии, где сами вектора являются касательными к точкам на таких линиях.

В итоге с успехом для представления векторной картины электрического поля применяют силовые линии электрического поля , которые выходят из зарядов положительного знака и заходят в заряды отрицательного знака, а также простираются до бесконечности в пространстве. Такое представление позволяет увидеть умом невидимое человеческому глазу электрическое поле . Впрочем, такое представление удобно также и для гравитационных сил и любых других бесконтактных дальнодействующих взаимодействий.

Модель электрических силовых линий включает в себя бесконечное их количество, но слишком высокая плотность изображения силовых линий снижает возможность чтения узоров поля, поэтому их число ограничивается удобочитаемостью.

Правила рисования силовых линий электрического поля

Есть множество правил составления таких моделей электрических силовых линий. Все эти правила созданы для того, чтобы сообщить наибольшую информативность при визуализации (рисовании) электрического поля . Один из способов - это изображение силовых линий. Один из самых распространенных способов - это окружить более заряженные объекты большим количеством линий, то есть большей плотностью линий. Объекты с большим зарядом создают более сильные электрические поля и потому плотность (густота) линий вокруг них больше. Чем ближе к заряду источнику, тем выше плотность силовых линий, и чем больше величина заряда, тем гуще вокруг него линии.

Второе правило для рисования линий электрического поля включает в себя изображение линий другого типа, таких, которые пересекают первые силовые линии перпендикулярно . Такой тип линий именуется эквипотенциальными линиями , а при объемном представлении следует говорить об эквипотенциальных поверхностях. Этот тип линий образует замкнутые контуры и каждая точка на такой эквипотенциальной линии имеет одинаковое значение потенциала поля. Когда какая либо заряженная частица пересекает такие перпендикулярные силовым линиям линии (поверхности), то говорят о совершении зарядом работы. Если же заряд будет двигаться по эквипотенциальным линиям (поверхностям), то хотя он и движется, но работы при этом никакой не совершается. Заряженная частица, оказавшись в электрическом поле другого заряда начинает двигаться, но в статическом электричестве рассматриваются только неподвижные заряды. Движение зарядов называется электрическим током, при этом носителем заряда может совершатся работа.

Важно помнить, что силовые линии электрического поля не пересекаются, а линии другого типа - эквипотенциальные, образуют замкнутые контуры. В том месте, где имеет место пересечение линий двух типов, касательные к этим линиям взаимно перпендикулярны. Таким образом получается нечто вроде искривленной координатной сетки, или решетки, ячейки которой, а также точки пересечения линий разных типов характеризуют электрическое поле .

Пунктирные линии - эквипотенциальные. Линии со стрелками - силовые линии электрического поля

Электрическое поле состоящее из двух и более зарядов

Для уединенных отдельно взятых зарядов силовые линии электрического поля представляют собой радиальные лучи выходящие из зарядов и идущие в бесконечность. Какова будет конфигурация силовых линий для двух и более зарядов? Для выполнения такого узора необходимо помнить, что мы имеем дело с векторным полем, то есть с векторами напряженности электрического поля . Чтобы изобразить рисунок поля, нам необходимо выполнить сложение векторов напряженности от двух и более зарядов. Результирующие векторы будут представлять собой суммарное поле нескольких зарядов. Как в этом случае можно построить силовые линии? Важно помнить, что каждая точка на силовой линии - это единственная точка соприкосновения с вектором напряженности электрического поля. Это следует из определения касательной в геометрии. Если от начала каждого вектора построить перпендикуляр в виде длинных линий, тогда взаимное пересечение многих таких линий изобразит ту самую искомую силовую линию.

Для более точного математического алгебраического изображения силовых линий необходимо составить уравнения силовых линий, а вектора в этом случае будут представлять первые производные, линии первого порядка, которые и есть касательные. Такая задача порой является чрезвычайно сложной и требует компьютерных вычислений.

В первую очередь важно помнить, что электрическое поле от многих зарядов представлено суммой векторов напряженности от каждого источника заряда. Это основа для выполнения построения силовых линий для того чтобы визуализировать электрическое поле.

Каждый внесенный в электрическое поле заряд приводит к изменению, пусть даже незначительному, узора силовых линий. Такие изображения бывают порой очень привлекательными.

Силовые линии электрического поля как способ помочь уму увидеть реальность

Понятие электрического поля возникло когда ученые пытались объяснить дальнодействие, которое происходит между заряженными объектами. Представление об электрическом поле было впервые введено физиком 19-го века Майклом Фарадеем . Это был результат восприятия Майклом Фарадеем невидимой реальности в виде картины силовых линий характеризующих дальнодействие. Фарадей не стал размышлять в рамках одного заряда, а пошел дальше и расширил границы ума. Он предположил, что заряженный объект (или масса в случае с гравитацией) влияют на пространство и ввел понятие поля такого влияния. Рассматривая такие поля он смог объяснить поведение зарядов и тем самым раскрыл многие секреты электричества.

Правила рисования силовых линий электрического поля

Пунктирные линии - эквипотенциальные. Линии со стрелками - силовые линии электрического поля