Cтроки матрицы A образуют пространство строк R(A T).

Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A) .

Ядро или нуль пространство матрицы

Множесто всех решений уравнения Ax=0 , где A- m xn -матрица, x - вектор длины n - образует нуль пространство или ядро матрицы A и обозначается через Ker(A) или N(A) .

Противоположная матрица

Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A , элементы которой отличаются от элементов A знаком.

Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица

Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:

В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.

Пример кососимметрической матрицы:

Разность матриц

Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством

Для обозначения разности двух матриц используется запись:

Степень матрицы

Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:

где E-единичная матрица.

Из сочетательного свойства умножения следует:

где p,q - произвольные целые неотрицательные числа.

Симметричная (Симметрическая) матрица

Матрица, удовлетворяющая условию A=A T называется симметричной матрицей.

Для симметричных матриц имеет место равенство:

a ij =a ji ; i=1,2,...n, j=1,2,...n

Сущность матрицы

Определение 1

Матрица - это прямоугольная таблица, содержащая числа и имеющая некоторое число строк ($m$) и столбцов ($n$). Строки матрицы - это элементы, стоящие на одной линии, идущей слева направо, а столбцы - элементы, стоящие на одной линии, идущей сверху вниз.

Числа m и n определяют порядок (размерность) матрицы.

Аналогом матрицы является обычная двумерная таблица.

Основные действия над матрицами

Над матрицами возможно выполнять следующие основные действия:

• Сложение матриц;
• Умножение матрицы на число;
• Умножение матриц друг на друга (применимо, если матрицы согласованы друг с другом - то есть, матрица $A$ должна иметь количество столбцов, равное количеству строк в матрице $B$);
• Транспонирование матрицы; *Умножение матрицы на вектор-столбец или строку;
• Вычисление определителя матрицы.

Как правило, матрица порядка $m\times n$ записывается следующим образом:

$\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {...} & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {...} & {a_{2n} } \\ {...} & {...} & {...} & {...} \\ {a_{m1} } & {a_{m2} } & {...} & {a_{mn} } \end{array}\right)$ или $\left(a_{ij} \right)$, где $i=1...m,j=1..n$.

Реже для записи матрицы вместо круглых скобок используют двойные вертикальные линии, например, $\left\| a_{ij} \right\| $, где $i=1...m,j=1..n$.

Замечание 1

Числа $a_{ij} $ из записи матрицы называются элементами матрицы, при этом $i$ - номер строки, $j$ - номер столбца.

Для обозначения матрицы часто используют заглавные буквы латинского алфавита: $A, B, C$ и т.д.

Пример 1

Дана матрица $A=\left(\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {6} & {-2} \end{array}\right)$

Определить какого размера матрица и выписать элементы матрицы с их номерами.

Решение :

Порядок матрицы $А$: $2\times 2$.

Элементы матрицы А: $a_{11} =1,a_{12} =3,a_{21} =6,a_{22} =-2$.

Различают несколько видов матриц:

• Квадратная и прямоугольная;
• Вектор-строка и вектор-столбец;
• Скаляр;
• Диагональная;
• Единичная и нулевая;
• Треугольная.

Квадратной матрицей порядка $n$ называется матрица размерности $n\times n$, т.е. число строк и столбцов одинаково, то есть количество элементов в строках и столбцах равное.

Прямоугольной матрицей называется матрица размерности $m\times n$, т.е. число строк и столбцов неодинаково.

Вектор-строка - это матрица, которая состоит только из одной строки элементов, т.е. размерность матрицы $1\times n$.

Вектор-столбец - это матрица, которая состоит только из одного столбца, т.е. размерность матрицы $m\times 1$.

Скаляром называется матрица, содержащая только один элемент, т.е. размерность матрицы $1\times 1$.

Пример 2

Даны матрицы:

$A=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {1} & {19} \\ {-3} & {2} & {1} \\ {1} & {4} & {3} \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {-4} & {3} \\ {0} & {5} & {-4} \end{array}\right),$ $C=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-4} \\ {5} \end{array}\right), D=\left(\begin{array}{cccc} {-2} & {-3} & {0} & {9} \end{array}\right), F=\left(1\right).$

Решение:

$A=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {1} & {19} \\ {-3} & {2} & {1} \\ {1} & {4} & {3} \end{array}\right)$ - квадратная матрица;

$B=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {-4} & {3} \\ {0} & {5} & {-4} \end{array}\right)$ - прямоугольная матрица;

$C=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-4} \\ {5} \end{array}\right)$ - вектор-столбец; $D=\left(\begin{array}{cccc} {-2} & {-3} & {0} & {9} \end{array}\right)$ - вектор-строка;

$F=\left(1\right)$ - скаляр.

Квадратная матрица имеет главную и побочную диагонали, причем:

• Элементы главной диагонали расположены на линии, которая направлена от левого верхнего угла матрицы (элемент $a_{11} $) до правого нижнего угла матрицы (элемент $a_{nn} $);
• Элементы побочной диагонали расположены на линии, которая направлена от правого верхнего угла матрицы (элемент $a_{1n} $) до левого нижнего угла матрицы (элемент $a_{n1} $).

Диагональная матрица - это квадратная матрица, у которой все элементы, находящиеся вне главной диагонали, равны нулю.

Единичная матрица - это диагональная матрица, у которой все элементы, находящиеся на главной диагонали, равны единице, такую матрицу можно применять для транспонирования. Обозначение единичной матрицы: $Е$.

Нулевая матрица - это матрица, у которой все элементы равны нулю.

Треугольная матрица - это квадратная матрица, элементы которой, находящиеся ниже или выше главной диагонали, равны нулю.

Замечание 2

Различают верхнетреугольную и нижнетреугольную матрицы. В первом случае нулевые элементы находятся ниже главной диагонали, во втором случае - выше главной диагонали.

Пример 3

Даны матрицы:

$A=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {0} & {0} \\ {0} & {2} & {0} \\ {0} & {0} & {3} \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {0} & {0} \\ {-2} & {2} & {0} \\ {1} & {4} & {3} \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {5} & {2} \\ {0} & {2} & {-1} \\ {0} & {0} & {3} \end{array}\right), E=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right), D=\left(\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right).$

Определить вид каждой матрицы.

Решение :

$A=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {0} & {0} \\ {0} & {2} & {0} \\ {0} & {0} & {3} \end{array}\right)$ - диагональная матрица;

$B=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {0} & {0} \\ {-2} & {2} & {0} \\ {1} & {4} & {3} \end{array}\right)$ - нижнетреугольная матрица;

$C=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {5} & {2} \\ {0} & {2} & {-1} \\ {0} & {0} & {3} \end{array}\right)$ - верхнетреугольная матрица;

$E=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)$ - единичная матрица;

$D=\left(\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right)$ - нулевая матрица.

Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.

Матрицей A=A mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов .

Элементы матрицы a ij , у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ .

Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a 11 , a 22 ,..., a nn .

Равенство матриц.

A=B , если порядки матриц A и B одинаковы и a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Действия над матрицами.

1. Сложение матриц - поэлементная операция

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

A mk *B kn =C mn причем каждый элемент с ij матрицы C mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.

Покажем операцию умножения матриц на примере

5. Возведение в степень

m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A T или A"

Строки и столбцы поменялись местами

Пример

Свойства опрераций над матрицами

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Виды матриц

1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m=n

3. Матрица строка: m=1 . Например, (1 3 5 7) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором

4. Матрица столбец: n=1 . Например

5. Диагональная матрица: m=n и a ij =0 , если i≠j . Например

6. Единичная матрица: m=n и

7. Нулевая матрица: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.

9. Симметрическая матрица: m=n и a ij =a ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A"=A

Например,

10. Кососимметрическая матрица: m=n и a ij =-a ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем a ii =-a ii )

Ясно, A"=-A

11. Эрмитова матрица: m=n и a ii =-ã ii (ã ji - комплексно - сопряженное к a ji , т.е. если A=3+2i , то комплексно - сопряженное Ã=3-2i )

Изучение любого физического явления сводится к установлению зависимости между величинами, характеризующими это явление. Для сложных физических процессов, в которых определяющие величины могут существенно изменяться в пространстве и времени, установить зависимость между этими величинами достаточно сложно. В таких случаях используют методы математической физики, которые заключаются в том, что ограничивается промежуток времени и из всего пространства рассматривается некоторый элементарный объем. Это позволяет в пределах выбранного объема и данного промежутка времени пренебречь изменениями величин, характеризующих процесс, и существенно упростить зависимость.

Выбранные таким образом элементарный объем dV и элементарный промежуток времени dτ , в пределах которых рассматривается процесс, с математической точки зрения являются величинами бесконечно малыми, а с физической точки зрения – величинами еще достаточно большими, чтобы в их пределах можно было считать среду как сплошную, пренебрегая ее дискретным строением. Полученная таким образом зависимость является общим дифференциальным уравнением процесса. Интегрируя дифференциальные уравнения, можно получить аналитическую зависимость между величинами для всей области интегрирования и всего рассматриваемого промежутка времени.

Для решения задач, связанных с нахождением температурного поля, необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности.

Примем следующие допущения:

тело однородно и изотропно;

физические параметры постоянны;

деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, очень мала по сравнению с самим объемом;

внутренние источники теплоты в теле, распределены равномерно.

В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положим закон сохранения энергии, который сформулируем так:

Количество теплоты dQ , введенное в элементарный объем dV извне за время dτ вследствие теплопроводности, а также от внутренних источников, равно изменению внутренней энергии или энтальпии вещества, содержащегося в элементарном объеме.

где dQ 1 – количество теплоты, введенное в элементарный объем dV путем теплопроводности за время dτ ;

dQ 2 – количество теплоты, которое за время dτ выделилось в элементарном объеме dV за счет внутренних источников;

dQ – изменение внутренней энергии (изохорный процесс) или энтальпии вещества (изобарный процесс), содержащегося в элементарном объеме dV за время dτ .

Для получения уравнения рассмотрим элементарный объем в виде кубика со сторонами dx , dy , dz (см. рис.1.2.). Кубик расположен так, чтобы его грани были параллельны соответствующим координатным плоскостям. Количество теплоты, которое подводится к граням элементарного объема за время dτ в направлении осей x , y , z обозначим соответственно dQ x , dQ y , dQ z .

Количество теплоты, которое будет отводиться через противоположные грани в тех же направлениях, обозначим соответственно dQ x + dx , dQ y + dy , dQ z + dz .

Количество теплоты, подведенное к грани dxdy в направлении оси x за время dτ , составляет:

где q x – проекция плотности теплового потока на направление нормали к указанной грани. Соответственно количество теплоты, отведенное через противоположную грань будет:

Разница между количеством теплоты, подведенном к элементарному объему, и количеством теплоты, отведенного от него, представляет собой теплоту:

Функция q является непрерывной в рассматриваемом интервале dx и может быть разложена в ряд Тейлора:

Если ограничиться двумя первыми слагаемыми ряда, то уравнение запишется в виде:

Аналогичным образом можно найти количество теплоты, подводимое к объему в направлении двух других координатных осей y и z .

Количество теплоты dQ , подведенное в результате теплопроводности к рассматриваемому объему, будет равно:

Второе слагаемое определим, обозначив количество теплоты, выделяемое внутренними источниками в единице объема среды в единицу времени q v и назовем его мощностью внутренних источников теплоты [Вт/м 3 ], тогда:

Третья составляющая в нашем уравнении найдется в зависимости от характера ТД процесса изменения системы.

При рассмотрении изохорного процесса вся теплота, подведенная к элементарному объему, уйдет на изменение внутренней энергии вещества, заключенного в этом объеме, т.е. dQ = dU .

Если рассматривать внутреннюю энергию единицы объема u = f (t , v ) , то можно записать:

, Дж/м 3

, Дж/кг

где c v – изохорная теплоемкость или единицы объема или единицы массы, [Дж/м 3 ];

ρ – плотность, [кг/м 3 ].

Соберем полученные выражения:

Полученное выражение является дифференциальным уравнением энергии для изохорного процесса переноса теплоты .

Аналогично выводится уравнение для изобарного процесса. Вся теплота, подведенная к объему уйдет на изменение энтальпии вещества, заключенного в объеме.

Полученное соотношение является дифференциальным уравнением энергии для изобарного процесса.

В твердых телах перенос теплоты осуществляется по закону Фурье
, значение теплоемкости можно принять
. Напомним, что проекция вектора плотности теплового потока на координатные оси определяются выражениями:

Последнее выражение называют дифференциальным уравнением теплопроводности. Оно устанавливает связь между временным и пространственным изменениями температуры в любой точке тела, в котором происходит процесс теплопроводности.

Наиболее общее дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных имеет такую же форму, но в нем величины ρ ,  , с являются функциями времени и пространства. Это уравнение описывает большое количество задач теплопроводности, представляющих практический интерес. Если принять теплофизические параметры постоянными, то уравнение будет проще:

Обозначим
, тогда:

Коэффициент пропорциональности а [м 2 /с] называется коэффициентом температуропроводности и является физическим параметром вещества. Он существенен для нестационарных тепловых процессов характеризует скорость изменения температуры. Если коэффициент теплопроводности характеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности является мерой теплоинерционных свойств тела. Например, жидкости и газы обладают большей тепловой инерционностью и, следовательно, малым коэффициентом температуропроводности, а металлы наоборот имеют малую тепловую инерционность.

Если имеются внутренние источники теплоты, а температурное поле является стационарным, то мы получаем уравнение Пуассона:

Наконец, при стационарной теплопроводности и отсутствии внутренних источников теплоты мы получаем уравнение Лапласа:

Условия однозначности для теплопроводности.

Так как дифференциальное уравнение теплопроводности выведено из общих законов физики, то оно описывает целый класс явлений. Для его решения необходимо задать граничные условия или условия однозначности.

Условия однозначности включают:

геометрические условия – характеризуют форму и размеры тела;

физические условия – характеризуют физические свойства среды и тела;

начальные (временные) условия – характеризуют распределение температур в теле в начальный момент времени, задаются при исследовании нестационарных процессов;

граничные условия – характеризуют взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой.

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

Граничные условия первого рода. Задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:

t c = f (x , y , z , τ )

где t c – температура на поверхности тела;

x , y , z – координаты поверхности тела.

В частном случае, когда температура на поверхности является постоянной на протяжении всего времени протекания процессов теплообмена, уравнение упрощается:

t c = const

Граничные условия второго рода. Задаются значения теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени. Аналитически выглядит так:

q c = f (x , y , z , τ )

В простейшем случае плотность теплового потока по поверхности тела остается постоянной. Такой случай имеет место при нагревании металлических изделий в высокотемпературных печах.

Граничные условия третьего рода. При этом задаются температура окружающей среды t ср и закон теплообмена между поверхностью тела и средой. Для описания процесса теплообмена используется закон Ньютона-Рихмана. Согласно этому закону количество теплоты, отдаваемое или принимаемое единицей поверхности тела в единицу времени, пропорционально разности температур поверхности тела и среды:

где α коэффициент пропорциональности, называется коэффициентом теплоотдачи [Вт/(м 2 ·К)], характеризует интенсивность теплообмена. Численно он равен количеству теплоты, отдаваемому единицей поверхности тела в единицу времени при разности температур равной одному градусу. Согласно закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится окружающей среде, должно равняться теплу, подводимому вследствие теплопроводности из внутренних частей тела, то есть:

Последнее уравнение является граничным условием третьего рода.

Встречаются более сложные технические задачи, когда ни одно из перечисленных условий задать невозможно, и тогда приходится решать задачу методом сопряжения. При решении такой задачи должны выполняться условия равенства температур и тепловых потоков по обе стороны от границы раздела. В общем случае условия сопряженности можно записать:

Решение сопряженной задачи связано с нахождением температурных полей по обе стороны границы раздела.