Закон сохранения электрического заряда. Дипольное приближение для произвольного распределения

Потенциал поля системы зарядов

Пусть система состоит из неподвижных точечных зарядов q 1 , q 2 , … Согласно принципу суперпозиции в любой точке поля напряженность Е=Е 1 + Е 2 +., где Е 1 - напряженность поля заряда q 1 и т.д. Тогда можно записать, используя формулу (1.8):

где т.е. принцип суперпозиции оказывается справедливым и для потенциала. Таким образом, потенциал системы неподвижных точечных зарядов

где r i - расстояние от точечного заряда q, до интересующей нас точки поля. Здесь также произвольная постоянная опущена. Это полностью соответствует тому факту, что всякая реальная система зарядов ограничена в пространстве, поэтому ее потенциал на бесконечности можно принять равным нулю.

Если заряды, образующие систему, распределены непрерывно, то, как обычно, мы считаем, что каждый элементарный объем dV содержит "точечный" заряд сdV, где с - объемная плотность заряда в месте нахождения объема dV. С учетом этого формуле (1.10) можно придать иной вид

где интегрирование проводится или по всему пространству, или по той его части, которая содержит заряды. Если заряды расположены только на поверхности S, то

где у - поверхностная плотность заряда; dS - элемент поверхности S. Аналогичное выражение будет и в том случае, когда заряды распределены линейно.

Итак, зная распределение зарядов (дискретное, непрерывное), мы можем в принципе найти потенциал поля любой системы.

Связь между потенциалом и напряженностью поля

Электрическое поле, как известно, полностью описывается векторной функцией Е (r). Зная ее, мы можем найти силу, действующую на интересующий нас заряд в любой точке поля, вычислить работу сил поля при каком угодно перемещении заряда и другое. А что дает введение потенциала? Прежде всего, оказывается, зная потенциал ц (r) данного электрического поля, можно достаточно просто восстановить и само поле Е (r). Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Связь между ц и Е можно установить с помощью уравнения (1.8). Пусть перемещение dl параллельно оси X, тогда dl =Ei dx, где i - орт оси X; dx - приращение координаты х. В этом случае

где - проекция вектора E на орт i (а не на перемещение dl). Сопоставив последнее выражение с формулой (1.8), получим

где символ частной производной подчеркивает, что функцию ц (х, у, z) надо дифференцировать только по х, считая у и z при этом постоянными.

Рассуждая аналогично, можно получить соответствующие выражения для проекций Е у и Е z . А определив Е x , Е y , Е z легко найти и сам вектор Е

Величина, стоящая в скобках, есть не что иное, как градиент потенциала ц (grad ц). Т.е. напряженность Е поля равна со знаком минус градиенту потенциала. Это и есть та формула, с помощью которой можно восстановить поле Е, зная функцию ц (r).

Эквипотенциальные поверхности

Введем понятие эквипотенциальной поверхности - поверхности, во всех точках которой потенциал ц имеет одно и то же значение. Убедимся в том, что вектор Е направлен в каждой точке по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону уменьшения потенциалац. В самом деле, из формулы (1.13) следует, что проекция вектора Е на любое направление, касательное к эквипотенциальной поверхности в данной точке, равна нулю. А это значит, что вектор Е нормален к данной поверхности. Далее, возьмем перемещение dxпо нормали к поверхности в сторону уменьшения ц, тогда 5ц<0 и согласно (1.13) E x >0, т.е. вектор Е направлен в сторону уменьшения ц, или в сторону, противоположную вектору grad ц.

Эквипотенциальные поверхности наиболее целесообразно проводить так, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была бы одинаковой. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно наглядно судить о значении напряженности поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще ("круче потенциальный рельеф"), там напряженность поля больше.

• Александр Николаевич Фурс Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Республика Беларусь

Аннотация

В калибровке Кулона рассчитаны потенциалы поля произвольного распределения зарядов и токов. Показано, что векторный потенциал определяется не только значениями плотности тока в запаздывающие моменты времени, но и предысторией изменения плотности заряда на временном интервале, ограниченном запаздывающим и текущим моментами. Получены различные представления потенциалов Лиенара – Вихерта в калибровке Кулона. Они применены к случаю равномерно и прямолинейно движущегося точечного заряда.

Биография автора

Александр Николаевич Фурс, Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Республика Беларусь

доктор физико-математических наук, доцент; профессор кафедры теоретической физики и астрофизики физического факультета

Литература

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М., 1973.
2. Джексон Дж. Классическая электродинамика. М., 1965.
3. Бредов М. М., Румянцев В. В., Топтыгин И. Н. Классическая электродинамика. М., 1985.
4. Гайтлер В. Квантовая теория излучения. М., 1956.
5. Гинзбург В. Л. Теоретическая физика и астрофизика. Дополнительные главы. М., 1980.
6. Wundt B. J., Jentschura U. D. Sources, potentials and fields in Lorenz and Coulomb gauge: Cancellation of instantaneous interactions for moving point charges // Ann. Phys. 2012. Vol. 327, № 4. P. 1217–1230.
7. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. М., 1969.

Ключевые слова

Калибровочная инвариантность, калибровки Лоренца и Кулона, запаздывающие потенциалы, потенциалы Лиенара – Вихерта

1. Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
2. Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
3. Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См.

Тело, находящееся в потенциальном поле сил (электростатическое поле), обладает потенциальной энергией, за счет которой силами поля совершается работа. Работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии. Поэтому работу сил электро­статического поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд Q 0 в начальной и конечной точках поля заряда Q : , откуда следует, что потенциальная энергия заряда q 0 в поле заряда Q равна . Она определяется неоднозначно, а с точностью до произвольной постоянной С . Если считать, что при удалении заряда в бесконечность (r ®¥) потенци­альная энергия обращается в нуль (U =0), то С =0 и потенциальная энергия заряда Q 0 , находящегося в поле заряда Q на расстоянии г от него, равна . Для одноименных зарядов Q 0 Q> 0 и потенциальная энергия их взаимодействия (оттал­кивания) положительна, для разноименных зарядов Q 0 Q <0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Потенциал j в какой-либо точке электростатического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещен­ного в эту точку. Из чего следует, что потенциал поля, создаваемого точечным зарядом Q , равен . Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда Q 0 из точки 1 в точку 2 , может быть представлена как , т. е. равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами поля, при перемещении единичного поло­жительного заряда из точки 1 в точку 2 . Работа сил поля при перемещении заряда Q 0 из точки 1 в точку 2 может быть записана также в виде . Выражение для разности потенциалов: , где интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траек­тории перемещения.

Если перемещать заряд Q 0 из произвольной точки за пределы поля, т. е. в бесконеч­ность, где, по условию, потенциал равен нулю, то работа сил электростатического поля A ¥ =Q 0 j откуда

Потенциал - физическая величина, определяемая работой по переме­щению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки поля в бесконечность. Эта работа численно равна работе, совершаемой внешними силами (против сил электростатического поля) по перемещению единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку поля. Единица потенциала -вольт (В): 1 В есть потен­циал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж (1 В = 1 Дж/Кл).

В случае электростатического поля потенциальная энергия служит мерой взаимодействия зарядов. Пусть в пространстве существует система точечных зарядов Q i (i = 1, 2, ... ,n ). Энергиявзаимодействия всех n зарядов определится соотношением

где r ij - расстояние между соответствующими зарядами, а суммирование производится таким образом, чтобы взаимодействие между каждой парой зарядов учитывалось один раз.

Из этого следует, что потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов:

Рассматривая электрическое поле, созданное системой зарядов, следует для определения потенциала поля использовать принцип суперпозиции:

Потенциал электрического поля системы зарядов в данной точке пространства равен алгебраической сумме потенциалов электрических полей, создаваемых в данной точке пространства, каждым зарядом системы в отдельности:

6. Эквипотенциальные поверхности и их свойства. Связь между разностью потенциалов и напряжённостью электростатического поля.
Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Уравнение этой поверхности

Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае - кон­центрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда - радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точеч­ного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю, т. е. электростатические силы, действующие на заряд, всегда направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям. Следовательно, вектор Е всегда нормален к эк­випотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора Е ортогональны этим повер­хностям.

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы заря­дов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверх­ностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности рас­положены гуще, напряженность поля больше.

Итак, зная расположение линий напряженности электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно определить в каждой точке поля модуль и направление напряженности поля.

Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом - энергетической характеристикой поля.

Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и x 2 -x 1 = dx, равна E x dx. Та же работа равна j 1 -j 2 =dj. Приравняв оба выражения, можем записать

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для осей у и z, можем найти вектор Е :

гдеi, j, k - единичные векторы координатных осей х, у, z.

Из определения градиента следует, что

т. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля,как и в случае поля тяготения, пользуютсяэквипотенциальными поверхностями - поверхностями, во всех точках которых потенциал j имеет одно и то же значение.

В реальных задачах, с которыми можно встретиться в процессе изучения физики или в технической и технологической практике, упрощенная картина с дискретным набором точечных зарядов обычно не реализуется. Всякая молекула состоит из атомов с положительно заряженными ядрами, окруженными отрицательными зарядами - электронами. В результате общий заряд системы описывается не совокупностью точечных зарядов, а функцией р(т) (зависимость от времени в электростатике не рассматривается) распределения зарядовой плотности. Эта функция определяет заряд в бесконечно малом объеме, окружающем рассматриваемую точку

С помощью р(г) общий заряд системы определяется как

Рис. 5.20.

Функция распределения зарядовой плотности является очень важной характеристикой системы зарядов, потому что, зная эту функцию, можно рассчитывать свойства зарядовых систем.

Рассмотрим поле, создаваемое произвольной системой непрерывно распределенных по заряженному телу электрических зарядов, описываемое функцией р(г) (рис. 5.20).

Поставим перед собой задачу рассчитать поле этой системы в некоторой точке А, на достаточно большом расстоянии (г >> г") от выбранной системы зарядов. Направим ось системы координат Oz с началом отсчета в точке О так, чтобы точка А оказалась лежащей на этой оси. Электрический потенциал в точке А по принципу суперпозиции полей определится суммирова-

нием вкладов от всех зарядов dq = p(r)dF" = = р(х", у", z") dV, создающих поле, т.е. (в СИ)

где г - модуль радиус-вектора г точки А, в которой рассчитывается потенциал; г" - аргумент функции

распределения заряда; R = |л| = г - г", т.е. расстояние от элемента объема d V, в котором сосредоточен заряд dq до точки А. Интегрирование производится по объему (или координатам г ") во всей области V, содержащей заряды dq. Обозначим 0 угол между векторами

г и г" и учтем, что по теореме косинусов R = (г 2 + + г" 2 - 2/r"cos 0) 1/2 . Тогда интеграл (5.54) перепишется в виде

5.1. Электростатическое поле 369

Величина каждого из интегралов-слагаемых в (5.56) зависит от особенностей распределения зарядов в системе (т.е. от р (г")). Будучи вычисленными они представляются числами ко, к и к 2 , соответственно, а зависимость фл от г может быть представлена суммой

Величины к„ называют электрическими моментами системы (первого, второго, третьего и так далее порядков, если разложение продолжается). Проанализируем слагаемые в скобках (5.57).

Величина к 0 определяется интегралом

и представляет собой суммарный заряд системы, сконцентрированный в начале координат (точка О на рис. 5.20). Его называют монопольным моментом (или просто монополем). Естественно, для электрически нейтральной системы к 0 = 0.

Величины к и к 2 , в отличие от к 0 , зависят от формы распределения заряда. Коэффициент к представляет собой усредненный электрический дипольный момент системы зарядов

Так как величина r"cos 0 - это координата элемента d V на оси Oz, то получается, что к х характеризует относительное смещение положительного и отрицательного зарядов p(r")dV" вдоль этой оси. Действительно, если представить себе систему, состоящую из двух разноименных зарядов ±q в точках (0, 0, z ) и (0, 0, - z) с z = -/, где / - расстояние

между зарядами, то величина r"cosQ = ±-/ может быть вынесена

за знак интеграла (5.59). Тогда оставшееся выражение Jp(r")dF" станет равным заряду q, а весь коэффициент к ь равный lq=p, составит электрический дипольный момент, ориентированный вдоль направления г (введенный в подразделе 5.1.5).

Коэффициент к 2 представляет собой выражение

и носит название квадрупольного момента . В СИ квадрупольный момент измеряется в единицах Кл м . Для сферически симметричного зарядового распределения к 2 = 0. Для «сплюснутого» по оси Oz распределения положительного заряда к 2 0, а для отрицательного к 2 > 0. Если распределение заряда вытянуто вдоль оси Oz, то соотношение знаков зарядов для к 2 будет обратным.

Важным является то обстоятельство, что на основании выражения (5.57) потенциал электростатического поля системы распределенных зарядов по-разному спадает при увеличении расстояния г до точки наблюдения: чем выше порядок электрического момента, тем быстрее спадает с расстоянием потенциал, создаваемого им поля. Даже нейтральные системы (атомы, молекулы) создают вокруг себя электрическое поле, посредством которого эти системы взаимодействуют между собой. Соответственно, чем выше порядок электрического момента, тем ниже энергия взаимодействия заряда с полем; например, взаимодействие диполей между собой (диполь-дипольное взаимодействие) заметно слабее взаимодействия точечных зарядов (монополей) с кулоновским потенциалом и т.д.

• Более подробно квадрупольный момент рассмотрен в подразделе 9.2.3 при анализе
• свойств атомного ядра.

Поле точечного заряда.

Пусть имеется один точечный заряд q . Это частный случай сферической симметрии. У нас есть формула: , где
– заряд внутри сферы радиусаr , но если заряд точки, то для точечного заряда
, при любомr . Понятно почему, на любом радиусе внутри сферы точка остаётся точкой. И для точечного заряда
. Это поле точечного заряда. Потенциал поля точечного заряда:
.

Поле системы точечных зарядов. Принцип суперпозиции.

Пусть мы имеем систему зарядов
, тогда напряжённость поля, создаваемая системой точечных зарядов, в любой точке равна сумме напряжённостей, создаваемых каждым из зарядов. Я мог бы сразу написать
, если бы вы свободно читали формулы. Учитесь читать формулы повествовательно. Зарядумножьте на вектор
, и разделите на модуль этого вектора, а что такое модуль вектора это длина. Эта вся штука даёт вектор, направленный вдоль вектора
.

То, что поля складываются это совершенно не очевидно. Это следствие линейности уравнений Максвелла. Уравнения линейны по . Это означает, что, если вы нашли два решения, то они складываются. Бывают ли поля, для которых не выполняется принцип суперпозиции? Бывают. Гравитационное поле не в ньютоновской теории, а в правильной, не удовлетворяет принципу суперпозиции. Земля создаёт в некоторой точке определённую напряжённость. Луна тоже. Поставили Землю и Луну, напряжённость в точке не равна сумме напряжённостей. Уравнение поля не линейно, физически это означат, что гравитационное поле является само себе источником. Так. Всё, конец.

В прошлый раз мы остановились на обсуждении поля, создаваемом системой зарядов. И мы видели, что поля, создаваемые каждым зарядом в отдельности в данной точке, складываются. При этом я подчеркнул, что это не самая очевидная вещь, - это свойство электромагнитного взаимодействия. Физически оно связано с тем, что поле само для себя не является источником, формально это следствие того, что уравнения линейны. Есть примеры физических полей, которые сами для себя являются источником. То есть, если в каком-то объёме это поле есть, так оно создаёт само поле в окружающем пространстве, формально это проявляется в том, что уравнения не линейны. Я там написал формулу для напряжённости
, напишем ещё формулу для потенциала.

Потенциал системы точечных зарядов.

Имеется система зарядов
и т.д. И тогда для некоторой точкимы напишем такую формулу:
. Значит, вот такой рецепт для потенциала. Напряжённость равна сумме напряжённостей, потенциал равен сумме потенциалов.

Замечание. Практически всегда удобнее вычислять потенциал, а не напряжённость, по понятным причинам: напряжённость – это вектор, и векторы надо складывать по правилу сложения векторов, ну, правилу параллелограмма, это занятие, конечно, более скучное, чем складывать числа, потенциал – это скалярная величина. Поэтому, практически всегда, когда мы имеем достаточно плотное распределение заряда, ищем потенциал, напряжённость поля потом находим по формуле:
. 1)

Поле, создаваемое произвольным ограниченным распределением заряда 1).

Ну, что тут означает эпитет «ограниченный»? То, что заряд локализован в конечной области пространства, то есть мы можем охватить этот заряд замкнутой поверхностью такой, что вне этой поверхности заряда нет. Понятно, что с точки зрения физики это не ограничение, ну, и, действительно, мы имеем дело практически всегда только с ограниченными распределениями, нет такой ситуации, чтобы заряд был размазан по всей вселенной, он концентрируется в определённых областях.

В

от такая проблема: областьзанята зарядом, по этой области размазан электрический заряд, мы должны полностью охарактеризовать этот заряд и найти создаваемое им поле. Что значит полностью охарактеризовать распределение заряда? Возьмём элемент объёма
, положение этого элемента задаётся радиус-вектором, в этом элементе сидит заряд
. Для того, чтобы найти поле, нам нужно знать заряд каждого элемента объёма, это означает, что нам нужно знать плотность заряда в каждой точке. Вот эта функция
предъявлена, она для нашей цели исчерпывающе характеризует распределение заряда, больше ничего знать не надо.

Пусть нас интересует поле в точке . А дальше принцип суперпозиции. Мы можем считать зарядdq , который сидит в этом элементе объёма, точечным 2). Мы можем написать сразу выражение для потенциала, который создаёт этот элемент в этой точке:
, это потенциал, создаваемый элементом в точке. А теперь понятно, что полный потенциал в этой точке мы найдём суммированием по всем элементам. Ну, и напишем эту сумму как интеграл:
. 3)

Этот рецепт срабатывает железно для любого предъявленного распределения заряда, никаких проблем, кроме вычисления интеграла, нет, но компьютер такую сумму посчитает. Напряжённость поля находится:
. Когда интеграл вычислен, то напряжённость находится просто дифференцированием.