Y 2 3 найти наименьшее значение функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Нахождение наибольшего и наименьшего значения по графику функции
Пусть функция у = f (х) непрерывна на отрезке [a, b ]. Как известно, такая функция на этом отрезке достигает наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка [a, b ], либо на границе отрезка.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a, b ] необходимо:
1)найти критические точки функции в интервале (a, b );
2)вычислить значения функции в найденных критических точках;
3) вычислить значения функции на концах отрезка, то есть при x = а и х = b ;
4)из всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке .
Находим критические точки:
Эти точки лежат внутри отрезка ; y (1) = ‒ 3; y (2) = ‒ 4; y (0) = ‒ 8; y (3) = 1;
в точке x = 3 и в точкеx = 0.
Исследование функции на выпуклость и точку перегиба.
Функция y = f (x ) называется выпуклойвверх на промежутке (a , b ) , если ее график лежит под касательной, проведенной в любой точке этого промежутка, и называется выпуклой вниз (вогнутой) , если ее график лежит над касательной.
Точка, при переходе через которую выпуклость сменяется вогнутостью или наоборот, называется точкой перегиба .
Алгоритм исследования на выпуклость и точку перегиба:
1. Найдеми критические точки второго рода, то есть точки в которых вторая производная равна нулю или не существует.
2. Нанести критические точки на числовую прямую, разбивая ее на промежутки. Найти знак второй производной на каждом промежутке; если , то функция выпуклая вверх, если, то функция выпуклая вниз.
3. Если при переходе через критическую точку второго рода поменяет знак и в этой точке вторая производная равна нулю, то эта точка ‒ абсцисса точки перегиба. Найти ее ординату.
Асимптоты графика функции. Исследование функции на асимптоты.
Определение. Асимптотой графика функции называется прямая , обладающая тем свойством, что расстояние от любой точки графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Существуют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Определение. Прямая называетсявертикальной асимптотой графика функции у = f (х) , если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке равен бесконечности, то есть
где ‒ точка разрыва функции, то естьне принадлежит области определения.
Пример.
D (y ) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
x = 2 ‒ точка разрыва.
Определение. Прямая у = A называется горизонтальной асимптотой графика функции у = f(х) при , если
Пример.
x | |||
y |
Определение. Прямая у = k х + b (k ≠ 0) называется наклонной асимптотой графика функции у = f (х) при , где
Общая схема исследования функций и построения графиков.
Алгоритм исследования функции у = f (х) :
1. Найти область определения функцииD (y ).
2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат (при x = 0 и при y = 0).
3. Исследовать на четность и нечетность функции(y (‒ x ) = y (x ) ‒ четность; y (‒ x ) = ‒ y (x ) ‒ нечетность).
4. Найти асимптоты графика функции.
5. Найти интервалы монотонности функции.
6. Найти экстремумы функции.
7. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции.
8. На основании проведенных исследований построить график функции.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
1) D (y ) =
x = 4 ‒ точка разрыва.
2) При x = 0,
(0; ‒ 5) ‒ точка пересечения с oy .
При y = 0,
3) y (‒ x )= функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
4) Исследуем на асимптоты.
а) вертикальные
б) горизонтальные
в) найдем наклонные асимптоты где
‒уравнение наклонной асимптоты
5) В данном уравнении не требуется найти интервалы монотонности функции.
6)
Эти критические точки разбивают всю область определения функции на интервале (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10)и (10; +∞). Полученные результаты удобно представить в виде следующей таблицы.
Урок на тему: "Нахождение наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве
Что будем изучать:
1. Нахождение наибольшего и наименьшего значения по графику функции.2. Нахождение наибольшего и наименьшего значения с помощью производной.
3. Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции y=f(x) на отрезке .
4. Наибольшее и наименьшее значение функции на незамкнутом интервале.
5. Примеры.
Нахождение наибольшего и наименьшего значения по графику функции
Ребята, мы с вами находили наибольшее и наименьшее значения функции и раньше. Мы смотрели на график функции и делали вывод, где функция достигает наибольшего значения, а где - наименьшего.
Давайте повторим:
По графику нашей функции видно, что наибольшее значение достигается в точке x= 1, оно равно 2. Наименьшее значение достигается в точке x= -1, и оно равно -2. Данным способом довольно просто находить наибольшие и наименьшие значения, но не всегда существует возможность построить график функции.
Нахождение наибольшего и наименьшего значения с помощью производной
Ребята, а как вы думаете, как с помощью производной можно найти наибольшее и наименьшее значение?
Ответ можно найти в теме экстремумы функции. Там мы с вами находили точки максимума и минимума, не правда ли термины похожи. Однако, путать наибольшее и наименьшее значение с максимум и минимум функции нельзя, это разные понятия.
Итак, давайте введем правила:
а) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значения на этом отрезке.
б) Наибольшего и наименьшего значения функция может достигать как на концах отрезках, так и внутри него.
Давайте рассмотрим этот пункт подробнее.
На рисунке а функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах отрезках .
На рисунке б функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения внутри отрезка .
На рисунке в точка минимума находится внутри отрезка, а точка максимума - на конце отрезка, в точке b.
в) Если наибольшее и наименьшее значение достигается внутри отрезка, то только в стационарных или критических точках.
Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции y= f(x) на отрезке
- Найти производную f"(x).
- Найти стационарные и критические точки внутри отрезка .
- Вычислить значение функции в стационарных и критических точках, а так же в f(a) и f(b). Выбрать наименьшее и наибольшее значения, это и будут точки наименьшего и наибольшего значения функции.
Наибольшее и наименьшее значение функции на незамкнутом интервале
Ребята, а как же искать наибольшее и наименьшее значение функции на незамкнутом интервале? Для этого воспользуемся важной теоремой, которая доказывается в курсе высшей математики.
Теорема. Пусть функция y= f(x) непрерывна на промежутке x, и имеет внутри этого промежутка единственную стационарную или критическую точку x= x0, тогда:
а) если x= x0 – точка максимума, то y наиб. = f(x0).
б) если x= x0 – точка минимума, то y наим. = f(x0).
Пример
Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= $\frac{x^3}{3}$ + 2x 2 + 4x - 5 на отрезке
а) [-9;-1], б) [-3;3], в) .
Решение: Найдем производную: y"= x 2 + 4x + 4.
Производная существует на всей области определения, тогда нам надо найти стационарные точке.
y"= 0, при x= -2.
Дальнейшие расчеты проведем для требуемых отрезков.
а) Найдем значения функции на концах отрезка и в стационарной точки.
Тогда y наим. = -122, при x= -9; y наиб. = y = -7$\frac{1}{3}$, при x= -1.
б) Найдем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке.
Наибольшее и наименьшее значение достигается на концах отрезка.
Тогда y наим. = -8, при x= -3, y наиб. = 34, при x= 3.
в) Стационарная точка не попадает на наш отрезок, найдем значения на концах отрезка.
Тогда y наим. = 34, при x= 3, y наиб. = 436, при x= 9.
Пример
Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= x 2 - 3x + 5 + |1-x| на отрезке .
Решение: Раскроем модуль и преобразуем нашу функцию:
y= x 2 - 3x + 5 + 1 - x, при x ≤ 1.
y= x 2 - 3x + 5 - 1 + x, при x ≥ 1.
Тогда наша функция примет вид:
\begin{equation*}f(x)=
\begin{cases}
x^2 - 4x + 6,\quad при\quad x ≤ 1
\\
x^2 - 2x + 4,\quad при\quad x ≥ 1
\end{cases}
\end{equation*}
Найдем критические точки:
\begin{equation*}f"(x)=
\begin{cases}
2x - 4,\quad при\quad x ≤ 1
\\
2x - 2,\quad при\quad x ≥ 1
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}f"(x)=0,\quad при\quad x=
\begin{cases}
2,\quad при\quad x ≤ 1
\\
1,\quad при\quad x ≥ 1
\end{cases}
\end{equation*}
Итак, мы имеем две стационарные точки и не будем забывать, что наша функция состоит как бы из двух функций при разных x.
Найдем наибольшее и наименьшее значения функции, для этого вычислим значения функции в стационарных точках и на концах отрезка:
Ответ: Функция достигает наименьшего значения в стационарной точке x= 1, y наим. = 3. Функция достигает наибольшего значения на конце отрезка в точке x= 4, y наиб. = 12.
Пример
Найти наибольшее значение функции y= $\frac{3x}{x^2 + 3}$ на луче: , б) , в) [-4;7].
б) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= x 2 - 6x + 8 + |x - 2| на отрезке [-1;5].
в) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= $-2x-\frac{1}{2x}$ на луче (0;+∞).
С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования... Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.
Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X , который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X может быть отрезком , открытым интервалом , бесконечным промежутком .
В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y=f(x) .
Навигация по странице.
Наибольшее и наименьшее значение функции - определения, иллюстрации.
Кратко остановимся на основных определениях.
Наибольшим значением функции , что для любого справедливо неравенство .
Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .
Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе .
Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.
Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка.
Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена.
Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме:"Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции"? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.
Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится.
На отрезке
На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y ) и наименьшее (min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6] .
Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на . В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее - в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.
На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2] являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции.
На открытом интервале
На четвертом рисунке функция принимает наибольшее (max y ) и наименьшее (min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6) .
На интервале , о наибольшем значении никаких выводов сделать нельзя.
На бесконечности
В примере, представленном на седьмом рисунке, функция принимает наибольшее значение (max y ) в стационарной точке с абсциссой x=1 , а наименьшее значение (min y ) достигается на правой границе интервала. На минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к y=3 .
На интервале функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. При стремлении к x=2 справа значения функции стремятся к минус бесконечности (прямая x=2 является вертикальной асимптотой), а при стремлении абсциссы к плюс бесконечности, значения функции асимптотически приближаются к y=3 . Графическая иллюстрация этого примера приведена на рисунке №8.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке .
Запишем алгоритм, позволяющий находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
- Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок .
- Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке (обычно такие точки встечаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем). Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.
- Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок . Для этого, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.
- Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также при x=a и x=b .
- Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции соответственно.
Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Пример.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции
- на отрезке ;
- на отрезке [-4;-1] .
Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть . Оба отрезка попадают в область определения.
Находим производную функции по :
Очевидно, производная функции существует во всех точках отрезков и [-4;-1] .
Стационарные точки определим из уравнения . Единственным действительным корнем является x=2 . Эта стационарная точка попадает в первый отрезок .
Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x=1
, x=2
и x=4
:
Следовательно, наибольшее значение функции достигается при x=1 , а наименьшее значение – при x=2 .
Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4;-1]
(так как он не содержит ни одной стационарной точки):