Тренировочный вариант 98. Система оценивания проверочной работы

На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости в течение каждого часа 8 декабря 2009 года. По горизонтали указывается номер часа, по вертикали – количество посетителей сайта за данный час. Определите по диаграмме, сколько часов за эти сутки аудитория посетителей сайта РИА Новости находилась в пределах от 30 до 50 тыс.

Задание 4. Тренировочный вариант ЕГЭ № 231 Ларина.

В 10‐х классах 51 учащийся, среди них две подруги – Марина и Настя. Для написания ВПР по географии 10‐классников случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Марина и Настя окажутся в одной группе.

В каждой группе: $$\frac{51}{3}=17$$

Пусть Марина уже есть в группе, тогда в ней остается 16 свободных мест, а человек на них претендует 50: $$p=\frac{16}{50}=0,32$$

Задание 6. Тренировочный вариант ЕГЭ № 231 Ларина.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона равна $$4\sqrt{15}$$, $$\sin\angle BAC=0,25$$. Найдите длину высоты AH.

$$\cos BAC=\sqrt{1-\sin^{2}BAC}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$$; $$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cdot\cos BAC$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x^{2}-2\cdot4\sqrt{15}\cdot x\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}=0$$; $$x^{2}-30x=0$$ $$\Rightarrow$$ $$x=30$$

из $$\bigtriangleup AHC$$: $$\frac{AH}{AC}=\sin\angle BCA$$ $$\Rightarrow$$ $$AH=AC\cdot\sin\angle BCA=30\cdot\frac{1}{4}=7,5$$

Задание 8. Тренировочный вариант ЕГЭ № 231 Ларина.

Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.

$$V=\frac{1}{3}S_{osn}\cdot h$$

Пусть а - сторона основания, тогда: $$S_{osn}=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}\cdot6=\frac{3\sqrt{3}a^{2}}{2}$$; $$h=\frac{3V}{S_{osn}}=\frac{3\cdot6}{\frac{3\sqrt{3}\cdot1}{2}}=$$ $$\frac{3\cdot4}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$$; $$SE=\sqrt{CH^{2}+HE^{2}}=\sqrt{48+1}=\sqrt{49}=7$$

Задание 10. Тренировочный вариант ЕГЭ № 231 Ларина.

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью $$v_{0}=30$$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением а = 4 м/с 2 . За t секунд после начала торможения он прошёл путь $$S=v_{0}t\frac{at^{2}}{2}$$ (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 112 метров. Ответ выразите в секундах.

$$112=30t-\frac{4t^{2}}{2}$$; $$2t^{2}-30t+112=0$$; $$t^{2}-15t+56=0$$; $$\left\{\begin{matrix}t_{1}=7\\t_{2}=8\end{matrix}\right.$$

Задание 11. Тренировочный вариант ЕГЭ № 231 Ларина.

Расстояние между городами A и B равно 550 км. Из города A в город B со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 75 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

Пусть х -время второго, тогда $$x+1$$ - время первого: $$50\cdot(x+1)+75x=550$$; $$125x+50=560$$; $$x=4$$; $$S=50\cdot(4+1)=250$$

Задание 12. Тренировочный вариант ЕГЭ № 231 Ларина.

Найдите наибольшее значение функции $$y=18\sin x-9\sqrt{3}+1,5\sqrt{3}\pi+21$$ на отрезке $$$$

$$y"=18\cos x-9\sqrt{3}-0$$; $$\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}=0$$; $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\\x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.$$;

$$y(\frac{\pi}{6})=18\sin\frac{\pi}{6}-9\sqrt{3}\frac{\pi}{6}+1,5\sqrt{3}\pi+21=18\cdot\frac{1}{2}+21=30$$

Задание 13. Тренировочный вариант ЕГЭ № 231 Ларина.

Дано уравнение $$\sqrt{\sin2x}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{\cos x}$$

А) Решите уравнение.

Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};0]$$

a) ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}\sin2x\geq0\\\cos x\geq0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2\pi n\leq2x\leq\pi+2\pi n\\-\frac{\pi}{2}+2\pi n\leq x\leq\frac{\pi}{2}+2\pi n\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\pi n\leq x\leq\frac{\pi}{2}+\pi n\\-\frac{\pi}{2}+2\pi n\leq x\leq\frac{\pi}{2}+2\pi n\end{matrix}\right.$$

$$x\in\cup{-\frac{\pi}{2}+2\pi n},n\in Z$$

$$\sin2x=\sqrt{2}\cos x$$; $$2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0$$; $$\sqrt{2}\cos x(\sqrt{2}-1)=0$$; $$\left\{\begin{matrix}\cos x=0\\\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n\\x=(-1)^{n}\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.$$

С учетом ОДЗ: $$\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{4}+2\pi n,n\in Z$$

б) $${-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}}$$

Задание 14. Тренировочный вариант ЕГЭ № 231 Ларина.

В основании прямой призмы $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ лежит прямоугольная трапеция АВСD с основаниями ВС и АD (ВС < АD), в которой АВ=5, CD=4, ВС=6. Через точку С и середину ребра $$BB_{1}$$ параллельно $$B_{1}D$$ проведена плоскость β.

А) Докажите, что плоскость β пересекает ребро $$AA_{1}$$ в такой точке Р, что $$A_{1}P=3AP$$.

Б) Найдите объем пирамиды с вершиной в точке В, основанием которой служит сечение призмы плоскостью β, если известно, что $$BB_{1}=16$$.

a) 1) из $$\bigtriangleup LAB$$: $$LA=\sqrt{AB^{2}-BL^{2}}=3$$; $$(LB\parallel DC)$$

2) $$AL\parallel CB$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup LAN\sim\bigtriangleup CNB$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{LA}{CB}=\frac{AN}{NB}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}=\frac{AN}{NB}$$ $$\Rightarrow$$ $$AN=5$$

3) $$\bigtriangleup RBN\sim\bigtriangleup PAN$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{PA}{RB}=\frac{AN}{NB}=\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$PA=\frac{1}{2}RB$$, но $$RB=\frac{1}{2}B_{1}B$$ $$\Rightarrow$$ $$PA=\frac{1}{4}BB_{1}=\frac{1}{4}AA_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$A_{1}P=\frac{3}{4}AA_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{A_{1}P}{PA}=\frac{3}{1}$$

б) 1) $$CLAB$$ - проекция $$\beta$$ на основание.

2) Введем ортогональную систему координат: центр в точке C, Ох через СВ, Оу через CD, Oz через CC 1

$$C(0;0;0)$$; $$L(6;4;0;)$$; $$R(6;0;8)$$

$$ax+by+cz+d=0$$ - уравнение плоскости

$$\left\{\begin{matrix}0a+0b+0c+d=0\\6a+4b+0c+d=0\\6a+0b+8c+d=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}d=0\\6a+4b=0\\6a+8c=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}d=0\\b=-\frac{3a}{2}\\c=-\frac{3a}{4}\end{matrix}\right.$$

$$ax-\frac{3a}{2}y-\frac{3a}{4}z+0=0$$ $$|\div a$$

$$x-\frac{3}{2}y-\frac{3}{4}z+0=0$$ $$\Rightarrow$$ $$\vec{n}{1;-\frac{3}{2};-\frac{3}{4}}$$ - нормаль для $$\beta$$

$$\vec{m}{0;0;1}$$ - нормаль для основания $$\Rightarrow$$ $$\cos\alpha=\frac{|1\cdot0+(-\frac{3}{2})\cdot0-\frac{3}{4}\cdot1|}{\sqrt{1+\frac{9}{4}+\frac{9}{16}}\cdot\sqrt{1}}=$$ $$\frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{\frac{16+36+9}{16}}}=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{\sqrt{61}}=\frac{3}{\sqrt{61}}$$

3) $$S_{CLAB}=\frac{3+6}{2}\cdot4=9\cdot2=18$$; $$S_{\beta}=\frac{S_{CLAB}}{\cos\alpha}=\frac{18\cdot\sqrt{61}}{3}=6\sqrt{61}$$

4) $$d(B_{1};\alpha)=\frac{|6-\frac{3}{2}\cdot0-\frac{3}{4}\cdot16|}{\sqrt{1+\frac{9}{4}+\frac{9}{16}}}=\frac{|6-12|}{\frac{\sqrt{61}}{4}}=$$ $$\frac{6\cdot4}{\sqrt{61}}=\frac{24}{\sqrt{61}}$$

5) $$V=\frac{1}{3}\cdot6\sqrt{61}\cdot\frac{24}{\sqrt{61}}=48$$

Задание 15. Тренировочный вариант ЕГЭ № 231 Ларина.

Решите неравенство $$\frac{7\cdot4^{x}+2^{x^{2}+1}}{3-2^{2x-x^{2}}}\geq2^{2x+3}$$