Как найти ускорение момент времени t. Ускорение – среднее, мгновенное, тангенциальное, нормальное, полное
Это векторная физическая величина, численно равная пределу, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени:
Другими словами, мгновенная скорость – это радиус-вектора по времени.
Вектор мгновенной скорости всегда направлен по касательной к траектории тела в сторону движения тела.
Мгновенная скорость дает точную информацию о движении в определенный момент времени. Например, при езде в автомобиле в некоторый момент времени водитель смотрит на спидометр и видит, что прибор показывает 100 км/ч. Через некоторое время стрелка спидометра указывает на величину 90 км/ч, а еще спустя несколько минут – на величину 110 км/ч. Все перечисленные показания спидометра – это значения мгновенной скорости автомобиля в определенные моменты времени. Скорость в каждый момент времени и в каждой точке траектории необходимо знать при стыковке космических станций, при посадке самолетов и т.д.
Имеет ли понятие «мгновенной скорости» физический смысл? Скорость – это характеристика изменения в пространстве. Однако, для того, чтобы определить, как изменилось перемещение, необходимо наблюдать за движением в течение некоторого времени. Даже самые совершенные приборы для измерения скорости такие как радарные установки, измеряют скорость за промежуток времени – пусть достаточно малый , однако это все-таки конечный временной интервал, а не момент времени. Выражение «скорость тела в данный момент времени» с точки зрения физики не является корректным. Однако, понятие мгновенной скорости очень удобно в математических расчетах, и им постоянно пользуются.
Примеры решения задач по теме «Мгновенная скорость»
ПРИМЕР 1
ПРИМЕР 2
Задание | Закон движения точки по прямой задается уравнением . Найти мгновенную скорость точки через 10 секунд после начала движения. |
Решение | Мгновенная скорость точки – это радиус-вектора по времени. Поэтому для мгновенной скорости можно записать:
Через 10 секунд после начала движения мгновенная скорость будет иметь значение: |
Ответ | Через 10 секунд после начала движения мгновенная скорость точки м/с. |
ПРИМЕР 3
Задание | Тело движется по прямой так, что его координата (в метрах) изменяется по закону . Через сколько секунд после начала движения тело остановится? |
Решение | Найдем мгновенную скорость тела: |
Рассмотрен пример решения задачи со сложным движением точки. Точка движется по прямой вдоль пластины. Пластина вращается вокруг неподвижной оси. Определяется абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки.
Теория, применяемая для решения приведенной ниже задачи, излагается на странице “Сложное движение точки, теорема Кориолиса ”.
Условие задачи
Прямоугольная пластина вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = 6 t 2 - 3 t 3 . Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунках дуговой стрелкой. Ось вращения OO 1 лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).
По пластине вдоль прямой BD движется точка M . Задан закон ее относительного движения, т. е. зависимость s = AM = 40(t - 2 t 3) - 40 (s - в сантиметрах, t - в секундах). Расстояние b = 20 см . На рисунке точка M показана в положении, при котором s = AM > 0 (при s < 0 точка M находится по другую сторону от точки A ).
Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M в момент времени t 1 = 1 с .
Указания . Эта задача - на сложное движение точки. Для ее решения необходимо воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений (теорема Кориолиса). Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка M на пластине в момент времени t 1 = 1 с , и изобразить точку именно в этом положении (а не в произвольном, показанном на рисунке к задаче).
Решение задачи
Дано: b = 20 см , φ = 6 t 2 - 3 t 3 , s = |AM| = 40(t - 2 t 3) - 40 , t 1 = 1 c .
Найти: v абс , a абсОпределение положения точки
Определяем положение точки в момент времени t = t 1 = 1 c
.
s = 40(t 1 - 2
t 1 3) - 40 =
40(1 - 2·1 3) - 40 = -80 см.
Поскольку s < 0
,
то точка M
ближе к точке B, чем к D.
|AM| = |-80| = 80 см.
Делаем рисунок.
Согласно теореме о сложении скоростей , абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.
Определение относительной скорости точки
Определяем относительную скорость
. Для этого считаем, что пластина неподвижна, а точка M
совершает заданное движение. То есть точка M
движется по прямой BD
.
Дифференцируя s
по времени t
,
находим проекцию скорости на направление BD
:
.
В момент времени t = t 1 = 1 с
,
см/с.
Поскольку , то вектор направлен в направлении, противоположном BD
.
То есть от точки M
к точке B
.
Модуль относительной скорости
v от = 200 см/с
.
Определение переносной скорости точки
Определяем переносную скорость
. Для этого считаем, что точка M
жестко связана с пластиной, а пластина совершает заданное движение. То есть пластина вращается вокруг оси OO 1 . Дифференцируя φ
по времени t
,
находим угловую скорость вращения пластины:
.
В момент времени t = t 1 = 1 с
,
.
Поскольку , то вектор угловой скорости направлен в сторону положительного угла поворота φ
,
то есть от точки O к точке O 1 . Модуль угловой скорости:
ω = 3 с -1
.
Изображаем вектор угловой скорости пластины на рисунке.
Из точки M
опустим перпендикуляр HM
на ось OO 1 .
При переносном движении точка M
движется по окружности радиуса |HM|
с центром в точке H
.
|HM| = |HK| + |KM| =
3
b + |AM| sin 30° =
60 + 80·0,5 = 100 см
;
Переносная скорость:
v пер = ω|HM| = 3·100 = 300 см/с
.
Вектор направлен по касательной к окружности в сторону вращения.
Определение абсолютной скорости точки
Определяем абсолютную скорость
. Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.
Проводим оси неподвижной системы координат Oxyz
. Ось z
направим вдоль оси вращения пластины. Пусть в рассматриваемый момент времени ось x
перпендикулярна пластине, ось y
лежит в плоскости пластины. Тогда вектор относительной скорости лежит в плоскости yz .
Вектор переносной скорости направлен противоположно оси x
. Поскольку вектор перпендикулярен вектору , то по теореме Пифагора, модуль абсолютной скорости:
.
Определение абсолютного ускорения точки
Согласно теореме о сложении ускорений (теорема Кориолиса) , абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:
,
где
- кориолисово ускорение.
Определение относительного ускорения
Определяем относительное ускорение
. Для этого считаем, что пластина неподвижна, а точка M
совершает заданное движение. То есть точка M
движется по прямой BD
.
Дважды дифференцируя s
по времени t
,
находим проекцию ускорения на направление BD
:
.
В момент времени t = t 1 = 1 с
,
см/с 2 .
Поскольку , то вектор направлен в направлении, противоположном BD
.
То есть от точки M
к точке B
.
Модуль относительного ускорения
a от = 480 см/с 2
.
Изображаем вектор на рисунке.
Определение переносного ускорения
Определяем переносное ускорение
. При переносном движении точка M
жестко связана с пластиной, то есть движется по окружности радиуса |HM|
с центром в точке H
.
Разложим переносное ускорение на касательное к окружности и нормальное ускорения:
.
Дважды дифференцируя φ
по времени t
,
находим проекцию углового ускорения пластины на ось OO 1
:
.
В момент времени t = t 1 = 1 с
,
с -2 .
Поскольку , то вектор углового ускорения направлен в сторону, противоположную положительного угла поворота φ
,
то есть от точки O 1 к точке O. Модуль углового ускорения:
ε = 6 с -2
.
Изображаем вектор углового ускорения пластины на рисунке.
Переносное касательное ускорение
:
a τ пер = ε |HM| = 6·100 = 600 см/с 2
.
Вектор направлен по касательной к окружности. Поскольку вектор углового ускорения направлен в сторону, противоположную положительного угла поворота φ
,
то направлен в сторону, противоположную положительному направлению поворота φ
. То есть направлен в сторону оси x
.
Переносное нормальное ускорение
:
a n пер = ω 2
|HM| = 3 2 ·100 = 900 см/с 2
.
Вектор направлен к центру окружности. То есть в сторону, противоположную оси y
.
Определение кориолисова ускорения
Кориолисово (поворотное) ускорение
:
.
Вектор угловой скорости направлен вдоль оси z
. Вектор относительной скорости направлен вдоль прямой |DB|
.
Угол между этими векторами равен 150°
. По свойству векторного произведения,
.
Направление вектора определяется по правилу буравчика. Если ручку буравчика повернуть из положения в положение , то винт буравчика переместится в направлении, противоположном оси x
.
Определение абсолютного ускорения
Абсолютное ускорение
:
.
Спроектируем это векторное уравнение на оси xyz
системы координат.
;
;
.
Модуль абсолютного ускорения:
.
Ответ
Абсолютная скорость ;
абсолютное ускорение .
К примеру, автомобиль, который трогается с места, движется ускоренно, так как наращивает скорость движения. В точке начала движения скорость автомобиля равняется нулю. Начав движение, автомобиль разгоняется до некоторой скорости. При необходимости затормозить, автомобиль не сможет остановиться мгновенно, а за какое-то время. То есть скорость автомобиля будет стремиться к нулю - автомобиль начнет двигаться замедленно до тех пор, пока не остановится полностью. Но физика не имеет термина «замедление». Если тело двигается, уменьшая скорость, этот процесс тоже называется ускорением , но со знаком «-».
Средним ускорением называется отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Вычисляют среднее ускорение при помощи формулы:
где - это . Направление вектора ускорения такое же, как у направления изменения скорости Δ = - 0
где 0 является начальной скоростью. В момент времени t 1 (см. рис. ниже) у тела 0 . В момент времени t 2 тело имеет скорость . Исходя из правила вычитания векторов, определим вектор изменения скорости Δ = - 0 . Отсюда вычисляем ускорение:
.
В системе СИ единицей ускорения называется 1 метр в секунду за секунду (либо метр на секунду в квадрате):
.
Метр на секунду в квадрате - это ускорение прямолинейно движущейся точки, при котором за 1 с скорость этой точки растет на 1 м/с. Другими словами, ускорение определяет степень изменения скорости тела за 1 с. К примеру, если ускорение составляет 5 м/с 2 , значит, скорость тела ежесекундно растет на 5 м/с.
Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени - это физическая величина , которая равна пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к 0. Другими словами - это ускорение, развиваемое телом за очень маленький отрезок времени:
.
Ускорение имеет такое же направление, как и изменение скорости Δ в крайне маленьких промежутках времени, за которые скорость изменяется. Вектор ускорения можно задать при помощи проекций на соответствующие оси координат в заданной системе отсчета (проекциями а Х, a Y , a Z).
При ускоренном прямолинейном движении скорость тела увеличивается по модулю, т.е. v 2 > v 1 , а вектор ускорения имеет такое же направление, как и у вектора скорости 2 .
Если скорость тела по модулю уменьшается (v 2 < v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем замедление движения (ускорение отрицательно, а < 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.
Если происходит движение по криволинейной траектории, то изменяется модуль и направление скорости. Значит, вектор ускорения изображают в виде 2х составляющих.
Тангенциальным (касательным) ускорением называют ту составляющую вектора ускорения, которая направлена по касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение описывает степень изменения скорости по модулю при совершении криволинейного движения.
У вектора тангенциального ускорения τ (см. рис. выше) направление такое же, как и у линейной скорости либо противоположно ему. Т.е. вектор тангенциального ускорения находится в одной оси с касательной окружности, являющейся траекторией движения тела.