Частные производные векторных функций нескольких скалярных аргументов. Лекции вектор-функция скалярного аргумента. Задание с помощью полного бинарного дерева

Высокая скорость сходимости метода Ньютона обусловлена тем, что он минимизирует квадратичную функцию

Где А – симметрическая положительно определенная матрица размера nxn , за один шаг. Квазиньютоновские методы позволяют найти минимум квадратичной функции за шагов. На стремлении минимизировать квадратичную функцию за конечно число шагов основана идея метода сопряженных направлений. Точнее говоря, в методах сопряженных направлений требуется найти направлениятакие, что последовательностьодномерных минимизаций вдоль этих направлений приводит к отысканию минимума функции 2.1, т. е.при любом, где

Оказывается, что указаным свойством обладает система взаимно сопряженных относительно матрицы А направлений

Пусть А – симетрическая положительно определенная матрица размера .

Определение 2.1. Векторы (направления) иназываются сопряженными (относительно матрицы А), если они отличны от нуля и. Векторы (направления)называются взаимно сопряженными (относительно матрицы А), если все они отличны от нуля и. (2.3)

Лемма 3.1. Пусть векторы являются взаимно сопряженными. Тогда они линейно независимы.

Доказательство. Пусть это неверно, т. е. при некотором. Тогда, что возможно только при, так как матрица А положительно определена. Полученное противоречие доказывает лемму.

Рассмотрим задачу минимизации на R n функции 2.1. Будем решать ее методом 2.2. Если векторы , взаимно сопряжены, то метод 3.2 можно назвать методом сопряженных направлений. Однако обычно это название употребляется лишь для тех методов, в которых именно стремление добится условия взаимной сопряженности определяет выбор направлений. К выполнению того же самого условия может привести и реализация совершенно новой идеи.

Теорема 3.1. Если векторы h k в методе 2.2 взаимно сопряжены, k =0,1,…, m -1 , то для функции f , заданой формулой 2.1,

, (2.4)

где – линейное подпространство, натянутое на указанные векторы.

Доказательство. С учетом 2.2 и определения 2.1 имеем

(2.5)

Используя это равенство, получаем

(2.6)

Следствие. Если векторы h k в методе 2.2 взаимно сопряженны, k =0,1,…, n -1 , то для функции f , заданной формулой 2.1, и произвольной точки

Таким образом, метод 2.2 позволяет найти точку минимума квадратичной функции 2.1 не более чем за n шагов.

2.2. Метод сопряженных направлений нулевого порядка.

Алгоритм состоит из последовательности циклов, k -й из которых определяется начальной точкой t 0 (k ) и направлениями минимизации p 0 (k ), p 1 (k ), …, p n -1 (k ) . На нулевом цикле в качестве t 0 (0), выбирается произвольная точка , в качествеp 0 (0), p 1 (k ), …, p n -1 (k ) – направления координатных осей.

Очередной k -й цикл состоит в последовательном решении одномерных задач

Тем самым определяется шаг из точки в точку

где итаковы, что

После завершения k -го цикланачальная точка и направления минимизации (k +1) -го цикла определяются по формулам

Критерием остановки может служить выполнение неравенства , где– заранее выбраное малое положительное число.

Теорема 3.2. Если векторы в методе 2.5-2.7 отличны от нуля, то для функцииf , заданой формулой 2.1

Доказательство. Учитывая следствие из теоремы 3.1, достаточно показать, что векторы взаимно сопряжены. Пусть. Предположив, что векторывзаимно сопряжены, докажем, что векторсопряжен с векторами.

Заметим, что и, стало быть, точкаt n (k ) , согласно формулам 2.5, получена из точки t n - k (k ) с помощью последовательности одномерных минимизаций вдоль направлений . Это, в силу теоремы 2.1, означает, что

Аналогично, точка t 0 (k ) получена из точки t n - k +1 (k ) помощью последовательности одномерных минимизаций вдоль тех же направлений, и поэтому

Доказываемое утверждение теперь непосредственно следует с леммы 2.2 так как .

Предположение теоремы 2.2 о том, что отличны от нуля, выполняется далеко не всегда. Система векторовможет при некоторомk оказатся линейно зависимой (или «почти» линейно зависимой), в результате чего метод может не обеспечить отыскание минимума даже квадратичной функции.

Опишем модификацию метода 2.5-2.7, приводящую к эффективному алгоритму минимизации.

После завершения k -го цикла проверяется выполнение неравенств . Если хотя бы одно с них выполнено, то производится остановка. В противном случае проверяется выполнение неравенства

, (2.16)

Если оно выполнено, то направления минимизации (k +1) -го цикла остаются прежними, т. е.

Если нет, то направления минимизации (k +1) -го цикла определяется по формулам

В обоих случаях начальная точка (k +1) -го цикла вычисляется так, же как и в исходном алгоритме.

Метод ориентирован на решение задач с квадратичными целевыми функциями и основывается на фундаментальных теоретических результатах. Хотя используемые в реальных ситуациях алгоритмы, являющиеся эффективными для квадратичных целевых функций, могут плохо работать при более сложных целевых функциях, тем не менее этот подход представляется вполне разумным.

Определение . Пусть - симметрическая матрица порядка
. Векторы
называются
- сопряженными, если они линейно независимы и выполняется условие
при
.

Пример. Рассмотрим функцию

В качестве матрицы
можно взять матрицу Гессе

.

В качестве одного из направлений выберем
. Тогда направление
должно удовлетворять равенству

.

Следует заметить, что сопряженные направления выбираются неоднозначно. Однако если добавить условие нормировки, то их можно определить однозначно:

Утверждение. Любая квадратичная функция переменных, имеющая минимум, может быть минимизирована зашагов, при условии, что поиск ведется вдоль сопряженных относительно матрицы Гессе направлений .

Произвольная функция может быть достаточно хорошо представлена в окрестности оптимальной точки ее квадратичной аппроксимацией. Поэтому сопряженные направления могут быть полезны для ее оптимизации. Однако потребуется более чем шагов. Для определения сопряженных направлений применяется способ, основанный на следующем утверждении.

Утверждение. Пусть задана квадратичная функция
, две произвольные точки
и направление S ..Если точка является точкой минимума функции
вдоль направления S из точки , а- точкой минимума функции вдоль направления S из точки
, то направление
сопряжено с направлением S .

Алгоритм.

Шаг 1. Задать начальную точку и систему линейно независимых направлений
(они первоначально могут совпадать с направлениями координатных осей). Минимизировать функцию
при последовательном движении по направлениям; используя какой-либо одномерный поиск; и полученную ранее точку минимума взять в качестве исходной.

Шаг 2. Выполнить дополнительный шаг
, соответствующий полному перемещению на шаге 1. Вычислить точку
(рис 12). Проверить критерий (*) включения нового направления в систему сопряженных направлений.

Шаг 3. Пусть – наибольшее уменьшение целевой функции в одном из направлений
:

и является направлением, соответствующим.

Если выполняются условия

(*)

то поиск продолжить вдоль первоначальных направлений
из точки
или
(из той точки, где меньше значение функции).

Шаг 4. Если условия не выполняются, то минимизировать функцию
вдоль направления
. Точку этого минимума взять в качестве начальной на следующем этапе. На этом этапе использовать систему направлений

т.е. направление заменить на, которое поместить в последний столбец матрицы направлений.

Шаг 5. Если
, то минимум найден. В противном случае выполнить шаг 1.

Пример. Щелкнув по значку, откроется Mathcad документ метода сопряженных направлений, в котором можно выполнить вычисления.

Минимизация функции

методом сопряженных направлений

Может показаться нерациональным отбрасывать самое удачное направление текущей итерации и устанавливать новое перспективное направление на последнее место вместо первого. Однако же нетрудно видеть, что самое удачное направление скорее всего исчерпало себя, а новое перспективное направление только что было использовано для одномерной оптимизации и применять его сразу же нет никакого смысла, так как продвижения просто на будет.

Пауэлл доказал, что определитель матрицы направлений принимает максимальное значение тогда и только тогда, когда направления ,
сопряжены относительно матрицы Гессе. Он пришел к выводу, что направление полного перемещения должно заменять предыдущее только в том случае, когда это направление увеличивает определитель матрицы направлений, так как только тогда новый набор направлений будет эффективным.

Доказано, что процедура Пауэлла сходится к точке, в которой градиент равен нулю, если целевая функция строго выпукла. Эта точка является локальным минимумом. Метод очень чувствителен к способу построения сопряженных направлений и поэтому зависит от точности используемого одномерного поиска. Пауэлл предложил использовать последовательность квадратичных интерполяций со специальной процедурой настройки параметров этого линейного поиска. Тем не менее численные исследования показали, что метод сопряженных направлений Пауэлла не следует использовать при размерности свыше 20.

В заключение изучения приближенных методов поиска экстремума ФМП без ограничений рассмотрим метод сопряженных направлений, который завоевывает на практике все большую популярность.

Сначала дадим понятие сопряженности. Пусть имеем два направления, которые характеризуются векторами и. Направленияиназывают сопряженными по отношению к некоторой положительно определенной матрице Н, если выполняется соотношение

, (7)

Сопряженность связана с ортогональностью. Если Н – единичная матрица, то при
имеем два взаимно перпендикулярных вектора. Соотношение (7) можно трактовать таким образом: матрица Н, примененная к вектору, изменяет его длину и поворачивает на некоторый угол так, что новый вектор
должен быть ортогонален вектору.

С помощью метода сопряженных направлений отыщем экстремум сепарабельной функции с начальной точкой
.

1) Производится выбор и в этом направлении отыскивается экстремум.

Возьмем вектор с направлениямии. Векторможно выбирать произвольно, поэтому возьмем==1. Вектордает направлениеL 1 .

Проведем через L 1 плоскость перпендикулярную плоскости {x 1 ,x 2 }. Плоскость пересечет экстремальную поверхность у(х 1 , х 2) и выделит на ней экстремальную линию. Определим координаты минимума на этой линии (параболе), для чего вычислим проекции градиента в точке х 0:

,

и по формуле (6) найдем :

Естественно, линия L 1 касается в точке х (1) линии равного уровня функции у.

2) Отыскивается из условия сопряженности
.

Получим сопряженный вектор с проекциями
и
, воспользовавшись формулой (7):

П
олучили одно уравнение с двумя неизвестными. Т.к. нам требуется только направление вектора, а не его длина, то одним из неизвестных можно задаться произвольно. Пусть
=1, тогда
= –4.

3) Из точки х (1) в направлении ищется экстремум.

Сопряженный вектор должен проходить через х (1) . Сделаем шаг в сопряженном направлении:

Величина шага  (1) в х (1) :

,

Итак, за две итерации было найдено точное значение экстремума функции у. В качестве первого вектора можно было выбрать градиент в исходной точке, процедура поиска остается при этом прежней.

В математике доказывается, что метод сопряженных направлений сходится для квадратичных функций не более чем за n итераций, где n – число переменных. Данное обстоятельство особенно ценно для практики, поэтому данный метод находит все большее применение.

Для функций более общего вида метод сопряженных направлений пока еще только разрабатывается. Основное затруднение тут состоит в том, что матрица Гессе получается функциональной, т.е. содержит переменную.

Классическая задача Лагранжа на условный экстремум (ограничения-равенства).

П
усть задана целевая функция
и ограничение-равенство (уравнение связи)
. Требуется найти минимум
на множестве
. Считаем, что функции
и
имеют непрерывные первые производные и являются выпуклыми или вогнутыми.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию классической задачи. На плоскости {x 1 ,x 2 } построим функцию
, а также линии равного уровня функции
со значениямиN 1 , линияN 3 имеет 2 общих точки с
и они не могут быть решением задачи, т.к.N 3 >N 2 . Остается линия уровняN 2 , которая имеет единственную точку касания с
. Абсолютный минимумN 0 может не принадлежать ограничению
и поэтому не может быть решением задачи. Отсюда ясно и название «условный экстремум», т.е. такой экстремум, который достигается только на заданных ограничениях.

В точке касания
с функцией
проведем касательную линиюL. Поострим градиенты функций
и
в точке касания, они будут лежать на одной линии, т.к. оба перпендикулярныLи направлены в разные стороны. Определим проекции градиентов на оси х 1 и х 2 в точке касания:

Из подобия треугольников можно записать:

–множитель Лагранжа.

или

Составим теперь функцию
следующим образом:

–функция Лагранжа.

Запишем соотношения для нахождения экстремума функции F.

Как видно, получили те же соотношения, что были получены исходя из геометрической интерпретации задачи. Постоянная называется множителем Лагранжа. С помощью этого множителя задача на условный экстремум сводится к задаче на безусловный экстремум.

В общем случае, число переменных примем за n, а число ограничений заm. Тогда функция Лагранжа запишется в виде:

или в векторной форме

Для решения задачи записывается система уравнений:

, (8)

т.е. для n+mпеременных будем иметьn+mуравнений. Если система совместна, то задача Лагранжа имеет единственное решение.

Т.к. для определения экстремума использовались только первые производные, то полученные условия будут являться только необходимыми. Если функции
и
выпуклые или вогнутые, то условный экстремум единственный. Если одна из функций невыпуклая, то экстремум может быть и не единственным. Кроме того, открыт вопрос о том, что найдено – минимум или максимум, хотя в инженерной практике обычно из физических соображений это бывает ясно.

Пример: Покажем технику решения задачи методом Лагранжа.

Д
ля рассмотренного выше примера с двумя насосами, задан объем перекачиваемой жидкости:

При этом ограничении требуется найти потребляемую мощность насосов
. Пусть коэффициенты равны 1 = 2 =1, К 1 =1, К 2 =1,5. Тогда целевая функция, найти минимум при ограничении:.

Процедура решения:

Составляем функцию Лагранжа

Составляется система уравнений (8):

Записываются Q i черези подставляются в третье выражение:

,
,
,

Тогда координаты экстремума:

,

Пример 2:

Пусть дано последовательное соединение компрессоров.
Задана требуемая степень сжатия:, которую требуется обеспечить при минимуме расхода мощности:

2.

3.
,
, подставляем в выражение для:

,
,
. Из физических соображений положительный корень отбрасываем, поэтому= –0,98.

Тогда координаты экстремума:

,

Как видно из приведенных примеров при решении задачи Лагранжа получаем в общем случае систему нелинейных уравнений, которую подчас трудно решить аналитически. Поэтому целесообразно применять приближенные методы решения задачи Лагранжа.