Разделить дугу на 3 равные части. Деление прямого угла на три равные части или трисекция угла. Деление прямого угла на три равные части

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

НИЖНЕКАМСКИЙ МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ

Кафедра информатики математики и естественно -

научных дисциплин

Группа 561

РЕФЕРАТ

по дисциплине «Абстрактная алгебра»

Уровень образования специалист

Тема: Упорядоченные множества

Руководитель ___________________ Р.М. Мунипов

Студент ___________________ А.В. Глазунов

Нижнекамск 2007

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………..3

1. Частично упорядоченные множества…………………………………5

2. Вполне упорядоченные множества…………………………………..20

3. Частичные группоиды и их свойства………………………………..23

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………..35

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………….36

Введение

В настоящее время алгебра понимается в основном как общая теория алгебраических операций и отношений. Ее характеризует большая внутренняя естественность исходных идей и задач, единство методов, далеко идущая широта основных понятий. Ее область очерчена четко и ясно. И все же существующие границы теории нельзя признать установленными прочно и окончательно. Все чаще начинает выявляться стремление выйти за ее пределы. Ощущается потребность рассматривать операции не только полные, но и частичные.

Теория частичных действий естественно должна продолжать теорию полных действий. Эта последняя в настоящее время является крайне разветв-ленной, богатой и находится в периоде своего расцвета. Естественно возни-кает мысль о перенесении выработанных там понятий и результатов в новую область. Это, разумеется, необходимо и во многих случаях плодотворно. Од-нако уже с первых шагов развития теории частичных действий дает себя знать значительная специфика этого направления. Часто прямое перенесение результатов теории полных действий оказывается затруднительным или даже невозможным. Привычный алгебраический материал приходится подвергать существенной переработке или переосмыслению, кроме того, возникают со-всем новые понятия и задачи, специфические для нового направления. Для них требуется своя методика исследования.

Пока еще не было достаточно полного и связного изложения теории час-тичных алгебраических действий. Господствует разнобой в исходных поня-тиях и даже в обозначениях и терминологии. Недостает связей между от-дельными работами. Дает себя знать недостаточность разработки отдельных вопросов, нужных для построения общей теории.

1 . Ч астично упорядоченные множества

Бинарное отношениена множестве А называется антисимметрич-ным если:

(а,в А ) а ? в в ? а

А называется рефлексивным если:

( a A ) a a

Бинарное отношение на множестве А называется транзитивным если:

(a ,в, c A ) a в в c > а с

Пример 1.

Отношение делимости (нацело) на множестве натуральных чисел N антисимметрично. В самом деле, если а в , в а , то существуют натуральные q 1 ,q N , такие, что а=в q 1 , в=а q откуда а=а q 1 q , то есть q 1 q = 1. Но,

q 1 ,q N ,следовательно q 1 = q = 1, откуда следует, что а = в.

Рефлексивное антисимметричное транзитивное бинарное отношение на множестве А называется отношением порядка (частичного порядка) на множестве А .

Множество А с заданным на нем отношением частичного порядка? на-зывают частично упорядоченным множеством и обозначают < А ; ? >.

В дальнейшем для удобства будем пользоваться сокращением ЧУМ , обозначающим частично упорядоченное множество.

Пример 2.

< N , ? > ? обычное нестрогое неравенство чисел (в школьном смысле). Нужно доказать транзитивность, рефлексивность и антисиммет-ричность этого отношения?.

a) a ? a ,(2 ? 2) - рефлексивность,

b) если а ? в , в? с, то a ? c , (3 ? 4, 4 ? 5 > 3 ? 5) - транзитивность,

c) если a ? в , в? a , то a =в, (3 ? 3, 3 ? 3 > 3=3) - антисимметрич-ность.

Из этого следует, что < N , ? > - ЧУМ.

Пример 3.

< N , > .

a) Отношение делимости на множестве натуральных чисел N реф-лексивно, т.к всякое число кратно самому себе, т.е т.к для лю-бого а N всегда a = a 1 (1 N ), это, по смыслу отношение, имеем а а . Следовательно, рефлексивно.

б) Если первое число делится нацело на второе(т.е кратное второму), а второе кратно третьему, то первое кратно третьему, значит отношение транзитивно, т.е. если а в , в с , a ,в ,c N . Значит, существуют такие q ,q N , что

a = в q ,

в = c q ,

a = c (q q ).

Обозначим: q = q q N . Имеем

где q N , т.е. а с - по определению . Следовательно, отношение транзи-тивно.

в) Антисимметричность отношения следует из того, что два натураль-ных числа, кратных друг другу, равны между собой, т.е. если а в , в а , то суще-ствуют такие q 1 ,q N , что

а=в q 1 ,

в=а q ,

а=а q 1 q ,

то есть q 1 q = 1. Но, q 1 ,q N ,следовательно q 1 = q = 1, откуда следует, что а = в. Следовательно антисимметрично.

Поэтому есть частичный порядок и, стало быть, < N , > - ЧУМ(частично упорядоченным множеством).

Элементы a ,в ЧУМа А называются несравнимыми изапи-сываются

а || в , если a ? в и в? а .

Элементы a ,в ЧУМа А называются сравнимыми если a ? в или в? а .

Частичный порядок? на A называется линейным , а само ЧУМ ли-нейно - упорядоченным или цепью , если любые два элемента из А сравнимы, т.е. для любых a ,в A , либо a ? в , либо в ? a .

Пример 4 .

< N , ? >, < R, ? > - являются цепью. Однако <В(М ) ; > ,где В(М ) - мно-жество всех подмножеств множества М или В(М ) называется булеаном на множестве М , не является цепью, т.к. не для любых двух подмножеств множество М одно является подмножеством другого.

Пусть < А , ? > - произвольный ЧУМ.

Элемент m A называется мини-мальным , если для любого x A из того, что x ? m следует x = m .

Смысл этого понятия в том, что А не содержит элементов строго меньших этого элемента m . Говорят, что х строго меньше m и записывают х < m , если x ? m , но притом x ? m . Анало-гично определяется максимальный элемент этого ЧУМ. Ясно, что если m , m - разные минимальные (максималь-ные) элементы ЧУМ, то m || m .

В теории частично упорядоченных множеств условие a ? в иногда читают так: элемент а содержится в элементе в или элемент в содержит элемент а .

Лемма.

Каждый элемент конечного ЧУМа содержит минимальный элемент и содержится в максимальном элементе этого ЧУМа.

Доказательство:

Пусть а - произвольный элемент конечного ЧУМа S . Если а - мини-мальный элемент, то в силу рефлексивности, лемма доказана. Если А не ми-нимален, то найдется элемент а такой, что

а < а (1)

Если а минимален, то всё доказано. Если же элемент а не является

минимальным, то для некоторого а получим

а < а (2)

Если а минимален, то из (1), (2), благодаря транзитивности, заключаем, что а содержит минимальный элемент а . Если же а не минимален, то

а < а (3)

для некоторого а S . И так далее. Указанный процесс не может быть беско-нечным в виду конечности самого множества S .

Таким образом, на некотором n - ом шаге рассуждений процесс обор-вется, что равносильно тому, что элемент а минимален. При этом

а < а < < а < а < а

За счет транзитивности отсюда следует, что элемент а содержит минималь-ный элемент а . Аналогично, элемент а содержится в максимальном эле-менте. Лемма доказана.

Следствие.

Конечное ЧУМ содержит, по меньшей мере, один минимальный эле-мент.

Сейчас мы введем важное для дальнейшего изложения понятие диа-граммы конечного ЧУМа S .

Вначале берем все минимальные элементы m , m , m в S . Согласно следствию такие найдутся. Затем в частично упорядоченном множестве

S = S \ {m , m , m },

которые, как и S , является конечным, берем минимальные элементы,

, , и рассматриваем множество

= S \ {, , }

Элементы “ первого ряда “m , m , m изображаем точками. Несколько выше отмечаем точками элементы “ второго ряда” , , и соеди-няем отрезками точки в том и только том случаи, если m <

Далее отыскиваем минимальные элементы ЧУМа, изображаем их точками “третьего ряда” и соединяем точками “второго ряда” указанным выше спо-собом. Продолжаем процесс до тех пор, пока не будут исчерпаны все эле-менты данного ЧУМа S . Процесс конечен в силу конечности множества S . Полученную совокупность точек и отрезков называют диаграммой ЧУМа S. При этом a < в тогда и только тогда, когда от “точки” а можно перейти к “точки” в по некоторой “восходящей” ломаной. В силу этого обстоятельства, любое конечное ЧУМ можно отождествить с его диаграммой.

Пример 5 .

Здесь задано диаграммой ЧУМ S = {m , m , , },в кото-рой m < , m < , m < m < , m < m < , m < .

Элемент m называется наименьшим элементом ЧУМа, если для лю-бого x A всегда m ? x .

Понятно, что наименьший элемент является мини-мальным, но обратное не верно: не всякий минимальный элемент является наименьшим. Наименьший элемент (если такой имеется) только один. Аналогично определяется наибольший элемент.

Пример 6.

· · · ·

Это ЧУМ, элементы которого попарно несравнимы. Такие частично

упорядоченные множества называются антицепями .

Пример 7 .

Эта цепь с наименьшим и наибольшим элементом. Где 0 - наименьший эле-мент, а 1 - наибольший элемент.

Пусть М - подмножество частичного упорядоченного множества А . Элемент а A называют нижней гранью множества М , если а? х для лю-бого x М.

Наибольшая из всех нижних граней множества М , если она существует, называется точной нижней гранью множества М и обозначают inf M .

Пусть < А , ? > - произвольный ЧУМ. Элемент с A называется точной нижней гранью элементов a ,в A , если с = inf{a ,в }.

Замечание 1.

Не во всяком ЧУМ для любых двух элементов существует точная нижняя грань.

Покажем это на примере.

Пример 8 .

Для {a ;c },{d ;e } нет нижней грани,

inf{a ;в }=d , inf{в ;c }=e .

Пример 9 .

Приведем пример ЧУМ, у которого для любых элементов существует точная нижняя грань.

inf{a ;в }=d , inf{a ;d }=d , inf{a ;0 }=0 , inf{a ;c }=0 , inf{a ;e }=0 ,

inf{в ;c }=e , inf{в ;e }=e , inf{в ;d }=d ,

inf{c ;e }=c , inf{c ;0 }=0 , inf{c ;d }=0 ,

inf{d ;e }=0 , inf{d ;0 }=0 ,

inf{e ;0 }=0 .

Определение : Частично упорядоченное множество, в котором для лю-бых двух элементов существует точная нижняя грань, называется полуре-шеткой .

Пример 10 .

Приведем пример ЧУМ, которое не является полурешеткой.

Пусть < N , ? > - линейно - упорядоченное множество натуральных чисел и e ,e N . На множестве N = N { e ,e } определим бинарное отношение? , пологая что x ? y , если x , y N , где x ? y , или если x N , y { e ,e }. Также счи-таем по определению: e ? e ,e ? e .

Диаграмма этого ЧУМ следующая:

Любое натуральное число n ? e и n ? e , но в N нет наибольшего эле-мента, следовательно, N - ЧУМ, но не полурешетка.

Итак, по самому определению, полурешетка есть модель (как множе-ство с отношением?). Как мы сейчас увидим к понятию полурешетки воз-можен и другой подход, а именно, полурешетку можно определить как неко-торую алгебру.

Для этого введем некоторые дополнительные алгебраические понятия. Как известно, полугруппой называется непустое множество с заданной на нем ассоциативной бинарной алгебраической операцией.

Произвольную полугруппу обычно обозначают S (semigroup).

Определение. Элемент e S называется идемпотентом , если

e = e , то есть e · e = e .

Пример 11 .

Полугруппа < N ; · > ? обладает единственным идемпотентом 1.

Полугруппа < Z ; + > ? обладает единственным идемпотентом 0.

Полугруппа < N ; + > ? не имеет идемпотента, т.к. 0 N .

Для любого непустого множества X, как обычно, через обознача-ется множество всех подмножеств множества X - булеан множества X.

Полугруппа <В;> - такова, что каждый ее элемент идемпотен-тен.

A В, A = A A .

Полугруппа называется идемпотентной полугруппой или связкой , если каждый ее элемент является идемпотентным. Таким образом, приме-рами связки является всякий булеан относительно объединения.

Пример 12 .

Пусть X - произвольное множество.

B- множество всех подмножеств множества Х .

B- называется булеаном на множестве Х .

Если Х = {1,2,3} , то

B = {O,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}.

Так как пересечение двух подмножеств множества Х вновь является под-множеством в Х , то имеем группоид < В;> , более того, это полугруппа и даже связка, так как А В и А = А А =А .

Точно также, имеем связку <; В > .

Коммутативная связка называется полурешеткой .

Пример 13 .

Пусть Х = {1,2,3}, построим диаграмму < В ; >.

Приведем примеры ЧУМ, но не полурешетки.

Пример 14 .

ЧУМ с двумя нижними гранями е и d , которые между собой не сравнимы: е || d . Следовательно, inf{a ;с } не существует.

Пример 15 .

ЧУМ с двумя нижними гранями с и d , которые между собой несравнимы: с || d . Следовательно, inf{a ;в } не существует.

Приведем примеры полурешеток.

Пример 16 .

Диаграмма:

а

inf{a ;в }=в , inf{a ;с }=с , inf{a ;d }=d ,

inf{в ;c }=d , inf{в ;d }=d ,

inf{c ;d }=d .

Пример 17 .

Является полурешеткой, т.к. для любых двух элементов существует точная нижняя грань, т.е.

inf{a ;в }=в , inf{a ;с }=с , inf{в ;c }=с .

Теорема 1.

Пусть <S ; ? > - полурешетка. Тогда <S ; > коммутативная связка, где

a в = inf {a ,в } (*).

Доказательство:

Нужно доказать, что в <S ; > выполняются следующие тождества:

(1) x y = y x

(2) (x y ) z = x ( y z )

(3) x x = x

1) Согласно равенству(*)

x y = inf (x ,y ) = inf (y ,x ) = y x

2) Обозначим а = (x y ) z , в = x ( y z )

Докажем, что а = в .

Для этого достаточно доказать, что

а ? в (4)

в ? а (5) (в силу антисимметричности)

Обозначим

с = x y , d = y z

По смыслу, а точная нижняя грань между с и z

а ? с , а ? z , c ? x , следовательно, в силу транзитивности a ? x .

Аналогично, а? y , т.е. а - общая нижняя грань для y и z . А d - их точная нижняя грань.

Следовательно, a ? d , но в = inf {x , d }.

Из неравенства a ? x , a ? d следует, что а х и d , а в - их точная нижняя грань, следовательно,

а? в (4) доказано.

Аналогично доказывается (5).

Из (4) и (5) , в виду антисимметричности, заключаем, что

а = в .

Этим мы доказали ассоциативность операции ().

3) Имеем x х = inf {x ,x } = x .

Равенство выполняется за счет рефлексивности: х? х .

Т.о. построенная алгебра <S ; > будет коммутативной идемпотентной полу-груп-пой, т.е. коммутативной связкой.

Теорема 2.

Пусть <S ; · > - коммутативная идемпотентная полугруппа, тогда би-нарное отношение? на S , определяемое равенство

? = a ·в = а ,

является частичным порядком. При этом ЧУМ <S ; ? > является полурешет-кой.

Доказательство:

1) рефлексивность?.

По условию <S ; · > удовлетворяет трем тождествам:

(1) х = х

(2) х·y = y·x

(3) (x·y )·z = x· (y ·z )

Тогда х·х = х = х - в силу (1). Поэтому х? х .

2) антисимметричность? .

Пусть х? у и у? х , тогда по определению,

(4) х·у = х

отсюда, благодаря коммутативности, имеем х = у.

3) транзитивность?.

Пусть х? у и у? z тогда, по определению,

(6) х·у = х

(7) у·z = у

Имеем x ·z = (x · y )·z x · (y ·z ) х·у х

Итак, x ·z = x , то есть х? z .

Таким образом, имеем ЧУМ <S ; ? >. Остается показать, что для любых (а , в )S существует inf{а,в }.

Берем произвольные а ,в S и докажем, что элемент с = а·в является inf{а,в }, т.е с = inf{а,в }.

В самом деле,

с·а = (а·в )·а а· (а·в ) (а·а )·в а·в = с ,

т.о. с? а .

Аналогично, с·в = (а·в )·в а· (в·в ) а·в = с ,

т.е. с? в .

Итак, с - общая нижняя грань {а,в }.

Докажем ее точность.

Пусть d - некоторая общая нижняя грань для а и в :

(8) d ? a

(9) d ? в

(10) d·a = d

(11) d·в = d

d · c = d · (а·в ) (d ·а )·в d ·в d ,

d · c = d , следовательно, d ? c .

Вывод: с = inf{a ,в }.

Доказанные теоремы 1 и 2 позволяют смотреть на полурешетки с двух точек зрения: как на ЧУМ, и как на алгебре (идемпотентные коммутативные полугруппы).

2. Вполне упорядоченные множества

Теорию упорядоченных множеств создал Г. Кантор . Шатуновский . Хаусдорфу (1914).

Вполне упорядоченные множества- Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если каждое его подмножество обладает первым элементом (т. е. элементом, за которым следуют все остальные). Все конечные упорядоченные множества вполне упорядочены. Натуральный ряд, упорядоченный по возрастанию (а также некоторыми др. способами), образует вполне упорядоченное множество. Важность вполне упорядоченных множеств определяется главным образом тем, что для них справедлив принцип трансфинитной индукции.

Упорядоченные множества, имеющие одинаковый порядковый тип, обладают и одинаковой мощностью, так что можно говорить о мощности данного порядкового типа. С др. стороны, конечные упорядоченные множества одинаковой мощности имеют один и тот же порядковый тип, так что каждой конечной мощности соответствует определённый конечный порядковый тип. Положение меняется при переходе к бесконечным множествам. Два бесконечных упорядоченных множества могут иметь одну и ту же мощность, но разные порядковые типы.

3. Частичные группоиды и их свойства

Как известно, бинарная алгебраическая операция на множестве S - это отображение из декартового квадрата S ?S . В этом случае говорят, что задано действие на S . Мы его в этом параграфе будем называть полным действием .

Всякое отображение из подмножества S ?S в S называется частичным действием на S . Иными словами, частичное действие на S - это некоторая функция из S ?S > S .

Можно сказать, что на S задано частичное действие (частичное умно-жение), если для любых элементов а,в S произведение а·в либо не опреде-лено, либо определено однозначно. Попросту говоря, здесь не любые эле-менты перемножены.

Множество S с заданным в нем частичным умножением называется частичным группоидом и обозначается (S ; · ) в отличие от полного группоида < S ; · >.

Если для полного группоида можно говорить о таблице Кэли, то для частич-ного группоида можно говорить о некотором аналоге таблицы Кэли, а именно о такой таблице, когда некоторые клетки пусты - это в том случае, когда произведение элементов неопределенно.

Пример 1.

а ·в= в , но в ·а не определено, т.е. в ·а = O . Символ “ O “ не принадлежит S , т.е. не является элементом из S .

Пример 2.

Рассмотрим ЧУМ (S ; ? ).

S = {a ,в, c , d }, где а? а , в? в , с? с , d ? d , с? а , с? в , d ? а , d ? в .

В произвольном ЧУМе (S ; ? ) условимся обозначать:

а в = inf{a ,в }.

Тогда указанное в примере ЧУМ относительно этого частичного дейст-вия, является частичным группоидом (S ;), таблицей Кэли которого явля-ется следующая

В этом параграфе мы рассмотрим три вида ассоциативности: сильная ассоциативность, средняя ассоциативность, слабая ассоциативность.

Определение 1.

Частичный группоид (S ; · ) называется слабо ассоциативным , если

(х ,y,z S ) (x ·y )·z O x ·(y ·z ) > (x ·y )·z = x ·(y ·z ) (*)

Определение 2.

Частичный группоид (S ; · ) называется средне ассоциативным , если

(х ,y,z S ) (x ·y )·z O y ·z > (x ·y )·z = x ·(y ·z )

Определение 3.

Частичный группоид (S ; · ) называется сильно ассоциативным , если

(х ,y,z S ) [(x ·y )·z O x ·(y ·z ) O > (x ·y )·z = x ·(y ·z )] (*)

В сильно ассоциативном частичном группоиде выполняется свойства средней и слабой ассоциативности. Однако обратное отнюдь не обяза-тельно.

Пример 3.

Дано А = {a ,в,с }. Зададим на А частичное действие умножение “ частичной таблицей Кэли”.

Получим некоторый частичный группоид. Проверим будет ли груп-поид сильно ассоциативным.

Пусть (x ·y )·z O т.к. х а , то либо х = с х = в

1) пусть х = с , тогда у = в у = с

а) пусть у = в , тогда z = a

(с ·в )·а O с ·(в ·а ) определено

(с ·в )·а = с ·(в ·а ) равенство выполняется

б) пусть у = с , тогда z = в z = с

а") если z = в , тогда

(с ·с )·в O с ·(с ·в ) определено

(с ·с )·в = с ·(с ·в ) равенство выполняется

б") если z = с , тогда

(с ·с )·с O с ·(с ·с ) определено

(с ·с )·с = с ·(с ·с ) равенство выполняется

2) пусть х = в , тогда у = а , а z = в z = c

а) если у = а и z = в

(в ·а )·в O = в ·(а ·в ) не определено

(в ·а )·в в ·(а ·в ) равенство не выполняется

б) пусть у = а и z = с

(в ·а )·с O = в ·(а ·с ) не определено

(в ·а )·с в ·(а ·с ) равенство не выполняется

Итак, по определению, частичный группоид не является сильно ассо-циативным. Но это еще не означает, что (S ; · ) не является слабо ассоциа-тивным.

Выясним это.

Пусть (x ·y )·z O x ·(y ·z ) O .

При х а , у а , а именно, когда

х = в х = с

у = в у = с

этот частичный группоид является слабо ассоциативным.

Пример 4.

Пусть А = {a , в,с }, можно задать на А следующую таблицу Кэли. Получим некоторый частичный группоид. Проверим будет ли этот группоид средне ассоциативным.

Пусть (x ·y )·z O т.к. х в , тогда х = а х = с

1) пусть х = а , тогда у = а у = в

а) пусть у = а , тогда z = a , z = в

а") если z = а , тогда

(а ·а )·а O а ·a определено

(а ·а )·а а ·(а ·a ) равенство не выполняется

б") если z = в , тогда

(а ·а )·в O а ·в определено

(а ·а )·в а ·(а ·в ) равенство не выполняется

Отсюда, мы видим, что группоид не является средне ассоциативным. Выяс-ним является ли он слабо ассоциативный.

Пусть (x ·y )·z O x ·(y ·z ) O , т.к. х в , тогда х = а х = с

1) пусть х = а , тогда у = а у = в

а) пусть у = а , тогда z = a , z = в

а") если z = а , тогда

(а ·а )·а O = а ·(а ·a ) не определено

(а ·а )·а а ·(а ·a )

б") если z = в , тогда

(а ·а )·в O а ·(а ·в ) определено

(а ·а )·в = а ·(а ·в ) равенство выполняется

б) пусть у = в , тогда z = a , z = в

а") если z = а , тогда

(а ·в )·а O = а ·(в ·a ) не определено

(а ·в )·а а ·(в ·a )

б") если z = в , тогда

(а ·в )·в O а ·(в ·в ) не определено

(а ·в )·в а ·(в ·в ) равенство не выполняется

2) пусть х = с , тогда у = а , у = в

а) пусть у = а , тогда z = a , z = в

а") если z = а , тогда

(с ·а )·а O = с ·(а ·a ) не определено

(с ·а )·а с ·(а ·a ) равенство не выполняется

б") если z = в , тогда

(с ·а )·в O с ·(а ·в ) определено

(с ·а )·в = с ·(а ·в ) равенство выполняется

Итак, мы видим что частичный группоид является слабо ассоциативным при х = а и z = в или при х = с если у = а и z = в .

Определение 4.

Частичный группоид (S ; · ) называется коммутативным , если

(х, y S ) x ·y = y ·х

Определение 5.

Частичный группоид (S ; · ) называется катенарным , если

(х ,y,z S ) (x ·y O y ·z ) > [(x ·y )·z O x ·(y ·z )]

Определение 6.

Частичный группоид (S ; · ) называется идемпотентным , если

(х S ) х = х

Приведем пример некатенарного частичного группоида.

Пример 5.

Имеем с а = с O , а d = d O . Однако, (с а ) d = c d O . Следовательно, заданный ЧГ не является катенарным.

Ясно, что понимаем под термином “ общая верхняя грань” элементов а и в некоторого ЧУМ.

Определение 7.

ЧУМ называется категорийным , если любые два его элемента, имею-щие верхнюю грань, имеют точную нижнюю грань.

Пример 6.

Пример 7.

Частично упорядоченное множество, задаваемое таблицей Кэли:

Пример 8.

Частично упорядоченное множество

имеющее следующую таблицу Кэли:

Понятно, что всякая полурешетка - это категорийное ЧУМ (но не на оборот), т.к. любые два элемента имеют точную нижнюю грань. Иными сло-вами, класс всех категорийных ЧУМ содержит класс всех полурешеток, но с ним не совпадает. Т.о. любое предложение, доказанное для категорийных ЧУМ влечет в качестве очевидного следствия некоторую теорему относи-тельно полурешеток.

Приведем примеры полурешеток.

Пример 9.

Диаграмма:

называется диамантом

Пример 10.

Диаграмма:

называется пентагоном , и определяется полурешеткой, имеющей следующую таблицу Кэли:

Пример 11.

Полурешетка, задаваемая таблицей Кэли:

имеет диаграмму:

Теорема 1.

Пусть (S ; ? ) - категорийное ЧУМ, тогда (S ;) - катенарный идемпо-тентный коммутативный слабо ассоциативный частичный группоид.

Доказательство:

Для любого а S всегда

а а = inf{a , a } = a поэтому частичный группоид S идемпотентен.

Имеем а в = inf{a ,в } = inf{в, a } = в а , а поэтому S коммутативен.

Проверим слабую ассоциативность.

Пусть (а в ) с O а (в с ) , обозначим

а в = d , в с = e , (а в ) с = d с = f , а (в с ) = а е = g

Докажем, что f = g .

По определению имеем f ? d ? a f ? a ,

f ? d ? в f ? в (1)

f ? c (2)

Т.к. е = inf{в,с }, то из (1), (2) следует, что f ? e . Т.о. f - некоторая общая ниж-няя грань для а и е , а g - их точная нижняя грань, поэтому

f ? g (3)

Аналогично,

g ? f (4)

Неравенство (3), (4) и антисимметричность отношения? обеспечивают f = g . Слабая ассоциативность доказана.

Проверим катенарность S .

Пусть а в O в с , обозначим а в = х , в с = y , отсюда х? в , у? в , т.е.

в - общая верхняя грань х и у . Т.к. ЧУМ S категорийно, то существует inf{х,у }, т.е. существует в S х у . Обозначим х у = z , покажем,что

а (в с ) = х с = z . Имеем z ? x , z ? y (т.к. z = inf{х,у }), y ? z z ? x , z ? c ,

z - нижняя грань для х и с .

Обеспечим точность.

Пусть t ? x , t ? c (t - какая - либо нижняя грань), т.к. t ? x , то t ? a , t ? в , по условию t ? с , т. е. t - общая нижняя грань для в и с . Отсюда следует по опре-делению у , t ? y .

Итак, t ? x , t ? у следовательно t ? z (по определению z ).

Катенарность доказана.

Теорема 2.

Если (S ; · ) - катенарный идемпо-тентный коммутативный слабо ассо-циативный частичный группоид, то отношение

? = (а,в ) S ?S (2)

Является отношением порядка. При этом ЧУМ <S ; ? > - является катенар-ным.

Доказательство:

Докажем рефлексивность отношения? . Т.к. частичный группоид S идемпо-тентен, то a · a = a отсюда, по определению (2) а? а.

Проверим антисимметричность.

Если а? в, в? а, то а·в = а, в·а = в, левые части равны в виду коммутативно-сти, значит равны и правые, следовательно а = в .

Осталось доказать транзитивность.

Пусть а? в , в? с , тогда а·в = а , в·с = в , а·с = (а·в )·с . В силу катенарности имеем (а ·в )·с O , а ·(в ·с ) O , отсюда в силу слабой ассоциативности

(а·в )·с = а· (в·с ), а поэтому, а·с = а· (в·с ) = а·в = а .

Итак, а·с = а , т.е. а? с .

Т.о. имеем ЧУМ <S ; ? > .

Пусть z - общая верхняя грань для х и у . Следовательно, х? z , y ? z , отсюда х· z = x , y · z = y , тогда z · y = y . В силу катенарности (x ·y )·z O x ·y O .

Обозначим х·у = s , докажем, что s точная нижняя грань.

Имеем s · x = (x ·y )·x = x · (x · y ) = (x · x )·y = x · y = s (в виду катенарности и слабой ассоциативности), следовательно, s ? x , т.е. s - общая нижняя грань.

Из этих теорем вытекают известные в теории полурешеток два следствия.

Следствие 1.

Если <S ; · > - идемпо-тентная коммутативная полугруппа, то отношение? , определенное равенством (2), является частичным порядком. При этом для любых двух элементов в S существует точная нижняя грань.

Следствие 2.

Если <S ; · > - частично упорядоченное множество, в котором любых двух элементов существует точная нижняя грань, то относительно операции

а в = inf{a ,в } (3)

множество S является идемпо-тентной коммутативной полугруппой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении можно отметить, что теорию упорядоченных множеств создал Г. Кантор . В 1883 он ввёл понятие вполне упорядоченного множества и порядкового числа, а в 1895 - понятие упорядоченного множества и порядкового типа. В 1906-07 С. О. Шатуновский сформулировал определения направленного множества (у Шатуновского - расположенный комплекс) и предела по направленному множеству (амер. математиками Э. Г. Муром и Г. Л. Смитом эти же понятия были рассмотрены независимо от Шатуновского, но значительно позднее - в 1922). Общее понятие частично упорядоченного множества принадлежит Ф. Хаусдорфу (1914).

Таким образом, теория частичных алгебраических действий, будучи продолжением теории полных действий, пользуясь ее достижениями, связан-ная с ней идеями и опытом приложений за пределами алгебры, все же должна оформиться как самостоятельное направление в обширной области современной алгебры.

К настоящему времени опубликованы сотни работ, специально посвя-щенных изучению частичных действий. Что касается работ, в которых те или иные частичные действия встречаются по ходу исследования, то число их не поддается оценке. О частичных действиях говорится и в некоторых общих алгебраических трудах, но всегда очень кратко.

Список литературы

А.К. Клифорд, Г. Престон. Алгебраическая теория полугрупп. 1972.

Грейцер. Общая теория решеток.Москва.-284с.

Кожевников О.Б. Частично упорядоченные множества частичных группоидов.Москва,1998. - 680с.

Е.С. Ляпин. Полугруппы. Москва: физмат, 1960.- 354с.

Ляпин Е.С. Алгебра и теория чисел. Москва, 1980.-589с.

Деление угла на три равные части при помощи циркуля и линейки (Трисекция угла).

Отсутствует

Интернет

Аннотация:

Предлагается общий подход к решению задач о делении угла на равные части с помощью циркуля и линейки. В качестве примера показано деление угла на три равные части (Трисекция угла).

It is proposed that the general approach to problem-solving to divide an angle into equal parts by using a compass and ruler. As an example, angle shows the Division into three equal parts (Trisection of the angle).

Ключевые слова:

угол; деление угла; трисекция угла.

angle; divide angle; trisection of an angle.

УДК 51

Введение.

Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части. Наряду с задачами о квадратуре круга и удвоении куба является одной из классических неразрешимых задач на построение, известных со времён Древней Греции.

Целью данной статьи является доказательство ошибочности выше приведённого утверждения о неразрешимости, во всяком случае, в отношении задачи о трисекции угла.

Предлагаемое решение не требует сложных построений, практически универсально и позволяет делить углы на любое количество равных частей , что в свою очередь позволяет строить любые правильные многоугольники.

Вступительная часть.

Проведём прямую линию a и построим на ней ∆CDE. Условно назовём его «базовым» (Рис.1).

Выберем на линии a произвольную точку F и проведём ещё одну прямую линию b через т.F и вершину D треугольника. На линии b возьмем две произвольные точки G и H и соединим их c точками C и E как показано на Рис.1. Анализ рисунка позволяет записать следующие очевидные соотношения между углами:

1. α 1 -α 3 =y 1 ; α 3 -α 5 =y 3 ; α 1 -α 5 =y 1 +y 3 ;

2. α 2 -α 4 =y 2 ; α 4 -α 6 =y 4 ; α 2 -α 6 =y 2 +y 4 ;

3. y 1 /y 2 =y 3 /y 4 ;

Пояснение1. к п.3: Пусть углы - ∟ C ,∟ D ,∟ E являются углами при соответствующих вершинах базового треугольника ∆ CDE . Тогда можно записать:

∟ C +∟ D +∟ E =180 0 - сумма углов ∆ CDE ;

∟ C + y 2 +∟ D -(y 2 + y 1 )+∟ E + y 1 =180 0 - сумма углов ∆ CGE ;

Пусть y 1 / y 2 = n или y 1 = n * y 2 , тогда,

∟ C + y 2 +∟ D -(y 2 + y 1 )+∟ E + n * y 2 =180 0

Сумма углов ∆ CHE :

∟ C +(y 2 + y 4 )+∟ D -(y 2 + y 4 + y 1 + y 3 )+∟ E + n *(y 2 + y 4 )=180 0 , откуда

y 1 + y 3 = n *(y 2 + y 4 ) или y 1 + y 3 = n * y 2 + n * y 4 , и так как y 1 = n * y 2 ,то

y 3 = n * y 4 и следовательно y 1 /y 2 =y 3 /y 4 =n.

Далее, возьмем две произвольные точки на линии a - N и M, и проведём через них две линии c и d как показано на Рис.2. Очевидно, в том числе из ранее сказанного, что отношение изменений соответствующих углов на линиях c и d величина постоянная, т. е.: (β 1 -β 3)/(β 3 -β 5)= (β 2 -β 4)/(β 4 -β 6)= y 1 / y 3 = y 2 / y 4 ;

Деление угла на три равные части.

На окружности с центром в точке A отложим угол E 1 AE 2 =β (см. Рис. 3.1). На противоположной стороне окружности отложим симметрично три угла - CAC 1 , C 1 AC 2 , C 2 AC 3 каждый равный β. Разделим угол E 1 AE 2 , в точках K 1 ,K 3 , на три равных угла - ∟E 1 AK 1 , ∟K 1 AK 3 , ∟K 3 AE 2 равных β/3. Проведём прямые линии через точки на окружности как это показано на Рис. 3.1. Соединим прямыми линиями точки C,E 1 и C 2 ,E. (см. Рис. 3.2)

Через точку K - пересечения линий, и точку K 1 проведём прямую линию. Выберем на этой линии произвольную точку K 2 и проведём через неё две прямые из точек C и C 2 .

Не трудно заметить что Рис. 3.2, если убрать линию окружности, практически идентичен Рис. 2. (Для наглядности добавлена штриховая линия CC 2). Значит и все соотношения, о которых говорилось выше, применимы и здесь, а именно для углов которые необходимо разделить на три равные части справедливо соотношение y 1 /y 2 =y 3 /y 4 =1/2 (см. Пояснение 1. в вступительной части). Из рисунка 3.2 становится ясно, как поделить угол на три равных части.

Рассмотрим, в качестве примера, деление на три равных части угла β=50 0 .

Вариант 1.

На окружности с центром A откладываем циркулем симметрично относительно друг друга и диаметра CB (см. Рис 4.1) дуги C 1 C 2 =B 1 B 2 =B 2 B 3 =B 1 B 4 равные β=50 0 - относительно центра окружности. Половину дуги C 1 C 2 - CC 1 делим пополам (точка D). Проводим прямые через точки B 1 и D, и точки B 3 и C. Соединяем между собой точки B 1 и C, B 3 и C 1 . Соединяем точки пересечения - F и E, ранее проведённых линий, между собой. Полученный угол α=C 1 AG, где G точка пересечения линии FE с окружностью, равен β/3.

Вариант 2.

На окружности с центром A откладываем циркулем симметрично относительно друг друга и диаметра CB (см. Рис 4.2) дуги C 1 C 2 =B 1 B 2 =B 2 B 3 =B 1 B 4 =β=50 0 - относительно центра окружности. Соединяем между собой точки B 1 и C, B 3 и C 1 . Отложим углы y 2 =2y 1 (см. Рис 4.2) от линий B 1 C и B 3 C 1 и проведём прямые линии соответственно этим углам. Соединяем точки пересечения - F и E, ранее проведённых линий, между собой. Полученный угол α=C 1 AG≈16.67 0 , где G точка пересечения линии FE с окружностью, равен β/3.

Полное построение деления угла на три равных части (на примере угла β=50 0) показано на Рис.5

Деление угла на нечётное количество (>3-х) равных углов.

В качестве примера рассмотрим деление угла β=35 0 на пять равных между собой углов.

Способ №1.

На окружности с центром A откладываем циркулем симметрично относительно друг друга и диаметра CB углы C 2 AC 1 =B 1 AB 2 =B 2 AB 3 =B 3 AB 4 =B 4 AB 5 =B 5 AB 6 =β=35 0 .(см. Рис.6)

Делим угол C 2 AC равный половине угла C 2 AC 1 пополам в точке E. Соединяем точки

E,C 2 ,B 1 ,B 2 ,B 3 между собой как показано на рисунке 6. Далее, для деления угла, используем Вариант 2 из ранее приведённого примера, т. к. Вариант 1 для деления углов на нечётное количество >3-х равных углов очевидно не применим. От линий B 3 E и B 1 C 2 в точках B 3 и B 1 соответственно, отложим углы y 1 и y 2 в соотношении 1:4. Из точек B 3 и B 1 проведём прямые соответственно этим углам, до пересечения в точке N. Угол C 2 AK=α=7 0 будет искомым.

Способ №2.

Этот способ (см. Рис.7) аналогичен первому с той лишь разницей, что для построений используется ¼ угла C2AC1 - угол EAC прилегающий к средней линии окружности BC. Преимущество данного способа в том, что он облегчает деление угла на большое количество углов - 7, 9, 11 и т. д.

Построение правильного семиугольника.

Примем, что n - число разбиений (количество секторов на которое делится угол).

Тогда если n -1=2 k (1), где k - любое целое число, то угол делится в один этап, что было показано ранее. Если n -1 ≠ 2 k (2) - то угол делится в два этапа, вначале на n -1 , а затем уже на n . При этом во всех случаях соблюдается соотношение: y 1 / y 2 = 1/ n -1 (3).

Поясним это на примере построения правильного семиугольника.

Для того чтобы построить семиугольник надо найти 1/7-ю часть угла 60 0 ,умножить её на шесть, и отложить полученный угол семь раз по окружности (это один из возможных вариантов). Так как 7-1=6 то в соответствии с формулой (2) угол 60 0 будем делить в два этапа. На первом этапе разделим на шесть, а затем, на втором этапе, на семь. С этой целью, разделим угол 30 0 на три равных сектора по 10 0 (см. Рис.8), используя, как самый простой, Вариант 1 описанный в начале статьи. Полученный угол ECL=10 0 отложим от средней линии окружности (см. Рис.9). Будем считать, что угол ECL принадлежит симметрично отложенному относительно средней линии углу 60 0 .

Далее чтобы найти 1/7-ю часть угла 60 0 используем Способ №2 описанный ранее. С этой целью отложим угол D 1 CD 2 =60 0 симметрично к средней линии и угол D 2 CD 3 =60 0 примыкающий к нему. В точках D 1 и D 3 построим углы y 1 и y 2 к линиям D 1 E и D 3 L соответственно, соблюдая пропорции в соответствии с формулой (3) - то есть 1 к 6.

Проведём прямые линии под углами y 1 и y 2 . Соединим точки пересечения G и F соответствующих линий. Угол LCH=60 0 /7. Отложим этот угол шесть раз от точки L до точки B. Отложим полученный угол BCL ещё шесть раз, и в результате получим семиугольник LBKFMNA.

Заключение.

Способ деления угла на равные части, предлагаемый в данной статье имеет ограничение - невозможность его применения непосредственно для углов > 60 0 , что впрочем, не столь существенно с точки зрения принципиальной решаемости задачи.

Библиографический список:

Рецензии:

20.03.2016, 14:39 Назарова Ольга Петровна
Рецензия : Интересные выкладки, рекомендуется к печати

22.03.2016, 11:09 Мирмович-Тихомиров Эдуард Григорьевич
Рецензия : Интересно, познавательно, лаконично. Виден инженерный подход. Но этот материал следует публиковать не здесь, а в любом образовательном журнале. Если он был уже опубликован автором в другом издании, то тем более. Кроме того, данная платформа очень дискомфортна к формулам. Рецензент не хотел бы, чтобы здесь публиковались любые учебно-дидактические и методические материалы. Но спорить с уважаемой Ольгой Петровной не стану. Может, редакция ещё сама что-то порешает!?. Чёткой рекомендации да-нет дать трудно.

22.03.2016 16:16 Ответ на рецензию автора Жарков Вячеслав Сергеевич :
Приведённое решение, что очевидно, не предполагает приблизительности решения задачи!!!. Оно неверно только в одном случае, что тоже достаточно очевидно, если сумма углов треугольника на плоскости ≠1800. Что - нонсенс. Некоторые основы, в том числе и в математике, иногда требуют корректировки. И дидактика тут ни причём.

Выполнить трисекцию угла - это значит разделить угол на три равные части. Сделать это, конечно, совсем нетрудно. Можно, например, измерить данный угол транспортиром, разделить найденное число градусов на три, а затем отложить посредством того же транспортира угол, содержащий полученное в частном число градусов. Но можно обойтись

и без транспортира, применяя метод «последовательных приближений»: построив произвольным радиусом дугу, для которой данный угол является центральным, возьмем на глаз хорду, соответствующую третьей части дуги, и отложим эту хорду последовательно три раза по дуге, начиная от одного из ее концов. Если после этого мы окажемся на другом конце дуги, задача решена. Если же, как это обыкновенно и бывает, мы не дойдем до другого конца дуги, или перейдем через него, то взятую нами на глаз хорду надо исправить, увеличив или уменьшив ее на одну треть расстояния от полученной точки до конца дуги, причем эту одну треть берем опять-таки на глаз. Эту исправленную хорду снова откладываем на дуге и в случае надобности вновь исправляем тем же способом. Каждая новая (исправленная) хорда будет давать все более точное решение, и, наконец, повторив операцию несколько раз, мы получим хорду, которая уложится на данной дуге практически ровно три раза, и трисекция угла будет выполнена. Конечно, эти два способа позволяют делить данный угол не только на три, но на любое число равных частей.

Однако, когда математики говорят о проблеме трисекции угла, они имеют в виду не эти весьма ценные в практическом отношении, но все же лишь приближенные способы, а точный способ, притом основанный на применении исключительно циркуля и линейки. Необходимо еще отметить, что имеется в виду использование одного лишь ребра линейки и что линейка должна служить только для проведения прямых (не допускается использование, например, масштабных делений), а циркуль - только для вычерчивания окружностей. Наконец, искомый способ должен давать решение задачи посредством конечного числа операций проведения прямых и окружностей. Последнее замечание очень существенно. Так, установив (по формуле суммы геометрической бесконечно убывающей прогрессии), что

можно предложить следующее решение задачи трисекции угла, требующее применения только линейки и циркуля: делим данный угол на 4 равные части, что, как известно, выполнимо посредством циркуля и линейки, а затем к полученному углу прибавляем поправку, равную четверти его самого, т. е. данного угла, потом вторую поправку,

равную первой, т. е. данного угла, и т. д. Точное решение задачи этим способом требует бесконечно большого числа операций (делений углов на 4 равные части), а потому не является тем классическим решением, какое имеют в виду, когда говорят о решении задачи трисекции угла и других задач на построение.

Итак, у нас будет идти речь о точном решении задачи трисекции угла посредством проведения конечного числа прямых и окружностей.

Для некоторых углов эта задача решается весьма просто. Так, для трисекции угла в 180° достаточно построить угол в 60°, т. е. угол равностороннего треугольника, а для трисекции углов в 90° и 45° - углы в 30° и 15°, т. е. половину и четверть угла равностороннего треугольника. Однако доказано, что наряду с бесконечным множеством углов, допускающих трисекцию, существует бесконечное же множество углов, не допускающих трисекции (в указанном выше смысле). Так, нельзя разделить на три равные части (посредством проведения конечного числа прямых и окружностей) ни угол в 60°, ни угол в 30°, ни угол в 15°, ни угол в 40°, ни угол в 120°, ни бесконечное множество других углов.

Теперь выясним, правилен ли следующий часто рекомендуемый способ деления произвольного угла на три равные части. Из вершины В произвольным радиусом проводим дугу окружности, которая пересечет стороны угла в точках (черт. 39). Делим хорду на три равные части и соединяем точки деления с В. Углы окажутся, будто бы, равными, и трисекция произвольного угла следовательно, будет выполнена так, как

требуется, т. е. посредством проведения конечного числа прямых и окружностей: деление отрезка на три равные части, которое здесь требовалось, выполнимо, как известно, именно так.

Предлагающие такое решение полагают, что равенство отрезков на которые мы разделили хорду влечет за собой и равенство дуг которые получатся, если продолжить и до пересечения с окружностью. Так ли это? Если эти дуги равны, то равны и углы (пусть каждый из них равен а), равны и стягивающие их хорды Но отрезок больше отрезка (это утверждение подсказывается чертежом, но ниже мы его докажем), а отрезок равен отрезку так как углы и равны:

Следовательно, при равенстве отрезков и отрезки и вопреки условию неравны, и предположение о равенстве и надо отвергнуть.

Опустив перпендикуляр из вершины В на хорду замечаем, что вся фигура симметрична относительно ВК: перегнув чертеж по мы приведем обе его половинки к совпадению. Отсюда заключаем, что отрезок III перпендикулярен к а в силу этого отрезок параллелен и треугольники и подобны, что дает: Но а потому и как мы и утверждали выше.

Академик Российской АН Н. ДОЛЛЕЖАЛЬ.

Давний автор журнала академик Николай Антонович Доллежаль - крупный специалист в области энергетики. В свободное время Николай Антонович занимается исследованием знаменитых задач древности, известных как трисекция угла, удвоение куба и квадратура круга (см. "Наука и жизнь" № 7, 1993 г.; №№ 3, 8, 1994 г.; № 9, 1995 г.). Сложность всех этих задач состоит в том, что решаться они должны без вычислений и расчетов, чисто геометрически, только с помощью циркуля и линейки без делений. Используя именно этот классический метод, Н. А. Доллежаль сумел найти очень изящное решение задачи о делении на три равные части произвольного угла.

Наука и жизнь // Иллюстрации

Суть этой геометрической задачи заключается в отыскании графического метода деления произвольного угла на три равные части с помощью циркуля и обыкновенной линейки. Ниже приводим описание метода, решающего эту задачу независимо от размера и типа (острый, тупой) угла, предлагаемого для разделения. Ограничений на формы геометрических фигур нет, численных измерений или вычислений не делается. Для примера взят случайный угол.

Геометрические элементы комбинируются геометрической фигурой, состоящей из равнобедренного треугольника АВС с нижним углом В, подлежащим разделению на три равных угла, и равносторонней трапеции АDFC, все четыре угла которой находятся на равном расстоянии от вершины угла В. Треугольник и трапеция сомкнуты своими основаниями АС. Предлагаемый метод решения задачи состоит в следующем:

1) Основанием для построения упомянутой геометрической фигуры служат уравнения, связывающие основные ее элементы:

где S - основание треугольника и трапеции; а - сторона трапеции; t - высота треугольника; h - высота трапеции.

Главные элементы фигуры находятся во взаимной зависимости: отношения основания к стороне трапеции и высот трапеции треугольника связаны уравнением (2).

У отношений S/а и h/t есть пределы применимости: отношение основания трапеции к ее стороне находится в пределах 2 ... 3, а отношения высот трапеции и треугольника изменяются при этом от бесконечности до 0. За пределами этих ограничений построение фигуры треугольник плюс трапеция невозможно.

В таблице для примера и выбора основных показателей для построения треугольника и трапеции приведены некоторые численные значения переменных, входящих в уравнения. С ее помощью можно задать отношение S/а и получить отношение h/t.

На рис. 1 представлено решение задачи предлагаемым методом. В качестве примера, не имеющего принципиального значения, взято равенство высот треугольника и трапеции. Для большей наглядности на рисунке приведены дополнительные геометрические построения: деление угла надвое, проведение параллельных линий и нанесение равномерных делений.

Решение задачи начинается с деления заданного угла АВС пополам линией ВЕ и проведения под прямым углом к ней через точку В горизонтальной линии XY. На линии ХY в обе стороны от точки В наносятся деления, отвечающие отношению основания трапеции к ее стороне, в данном случае 5 и 2. Это соотношение получено из уравнения (2) при условии равенства высот - см. таблицу.

Из точек, отвечающих делению 5, проводятся параллели биссектрисе ВЕ до пересечения со сторонами угла в точках А и С. Линия АС служит общим основанием треугольника и трапеции, отрезки АВ и ВС равны. Из точек, отвечающих отметке 2 на отрезке XY, проводятся линии, также параллельные биссектрисе угла АВС, и на них отрезками BD и BF, равными сторонам треугольника ВА = ВС, отмечаются точки D и F - вершины углов трапеции АDFC. Точки D и F определяют высоту ВЕ, равную сумме высот треугольника и трапеции.

Для проверки и доказательства проводятся диагонали AF и DC трапеции АDFC, пересекающиеся в точке Z на средней линии треугольника АВС. Образовавшиеся два треугольника АDF и DFC равнобедренные, поскольку их основания, т. е. диагонали трапеции, разделены в точках Т надвое, пересекаясь в них с радиусами ВD и ВF и средней линией РР трапеции. Сторона DF принадлежит обоим треугольникам, поэтому треугольники АВD, DВF и FВС равны. Все три их угла с вершинами в точке В равны между собой и в сумме составляют заданный угол АВС.

Отрезки прямых DM и FN образуют стороны ромбов ADFN и DFCM, своими геометрическими свойствами подтверждающих правильность построения.

На рис. 2 показано соотношение образовавшихся углов. Характерно, что нижние углы трапеции DАС = FСА равны одной трети разделяемого угла АВС.

При построении геометрической фигуры на рис. 1 было принято отношение величины основания трапеции к ее стороне 5:2 для простоты построений: этому соотношению отвечает равенство высот трапеции и треугольника.

На рис. 3 построена фигура "треугольник - трапеция" для сравнительно острого угла АВС. Исходным принимается отношение высоты треугольника к сумме высот треугольника и трапеции, равное 5:6, которому, согласно уравнению (1), отвечает значение S/а = 17/6. Как и в первом случае, это значение поровну, т. е. 8 1/2 к 3, откладывается на линии XY в обе стороны от точки В, и производятся аналогичные построения.

Вообще, нет необходимости предварительно принимать численные значения S/а. Достаточно на линиях ВХ и ВY из точки В отложить по три равных отрезка, отметив их концы, и из любой точки между второй и третьей отметками построить перпендикуляры до пересечения со сторонами угла В в точках А и С. Затем из первой отметки также восстановить перпендикуляры и на них отложить точки D и F на расстоянии от точки В, равном стороне треугольника АВС.

Если из точек А и С на линиях ВD и ВF отложить по две равноотстоящие точки N и М, получим отрезок NM, равный S-2а. Отношение этой длины к а определяет отношение высот трапеции и треугольника согласно формуле (2).

В остальном поступают, как и в первом случае. Правильность построения можно проверить по формуле

следующей из (2). Сумма t+h никогда не превышает сторону ВА(ВD) треугольника.

Графически равенство (4) проверяется так (рис. 4). Берется произвольный угол PQN, разделенный биссектрисой QQ?. На левой стороне угла от точки Q циркулем откладываются отрезки S-а и а, образующие точки Р и L. Далее точка Р соединяется с точкой Q? и из точки L проводится параллельная РQ? линия LQ???. Это означает, что на биссектрисе угла возникла отметка Q, причем а/(S-а)= = QQ??/QQ?. На правой стороне угла откладываем циркулем отрезки 2t+h и t+h из построенного чертежа. Конец отрезка 2t+h - точку N - также соединяем с точкой Q?, а из точки М - конца отрезка t+h - проводим линию, параллельную NQ?. На средней линии угла отмечается отношение (t+h)/(2t+h)=QQ??? /QQ?. Если линии LQ?? и МQ??? пересекаются на средней линии угла, это означает, что левая и правая части в формуле равны. Что и требуется.

Можно ли путем измерения соответствующих отрезков, в частности оснований треугольников, определить их длину? Нельзя, так как каждый служит хордой соответствующей воображаемой дуги окружности, содержащей долю, не поддающуюся измерению. Для определения точности решения задачи может быть использован только графический метод.

Таким образом, нами предложено доказательство возможности графического деления угла на три с помощью циркуля и линейки. Остается графически не выясненной связь элементов трапеции и треугольников, иными словами, зависимость между стороной трапеции а и высотой треугольника t. Эта задача может иметь самостоятельный характер для принципа построения трапеции.

Приношу благодарность профессору МГТУ В. И. Солонину за благожелательную критику.

Деление угла пополам (рисунок 26, а). Из вершиныВ углаABC произвольным радиусом R 1 проводят дугу до пересечения ее со сторонами угла в точках М и N . Затем из точек M и N проводят дуги радиусом > R 1 до взаимного пересечения их в точке D . Прямая BD разделит данный угол пополам.

Деление угла на 4, 8 и т. д. равных частей осуществляется последовательным делением пополам каждой части угла (рисунок 26, б).

Рисунок 26

В том случае, когда угол задан сторонами, не пересекающимися в пределах чертежа, например AB иCD на рисунке 26, в, деление угла пополам выполняют так. На произвольном, но одинаковом расстоянииl от сторон угла проводят прямыеKL || AB иMN || CD и продолжают их до пересечения в точкеО . Полученный уголL ON делят пополам прямойOF . ПрямаяOF разделит пополам также и заданный угол.

Деление прямого угла на три равные части (рисунок 27). Из вершины прямого угла – точкиВ проводят дугу произвольным радиусомR до пересечения ее с обеими сторонами угла в точкахA иC . Тем же радиусомR из точекA иС проводят дуги до пересечения с дугойAC в точкахМ иN . Прямые, проведенные через вершину углаВ и точкиМ иN , разделят прямой угол на три равные части.

Рисунок 27

2.4 Деление окружности на равные части, построение правильных многоугольников

2.4.1 Деление окружности на равные части и построение правильных вписанных многоугольников

Для деления окружности пополам достаточно провести любой ее диаметр. Два взаимно перпендикулярных диаметра разделят окружность на четыре равные части (рисунок 28, а). Разделив каждую четвертую часть пополам, получают восьмые части, а при дальнейшем делении – шестнадцатые, тридцать вторые части и т. д. (рисунок 28, б). Если соединить прямыми точки деления, то можно получить стороны правильного вписанного квадрата (а 4 ), восьмиугольника (а 8 ) и т. д. (рисунок 28, в).

Рисунок 28

Деление окружности на 3, 6, 12 и т, д. равных частей, а также построение соответствующих правильных вписанных многоугольников осуществляют следующим образом. В окружности проводят два взаимно перпендикулярных диаметра1–2 и3–4 (рисунок 29 а). Из точек1 и2 как из центров описывают дуги радиусом окружностиR до пересечения с ней в точкахА, В, С иD . ТочкиA ,B ,1, С, D и2 делят окружность на шесть равных частей. Эти же точки, взятые через одну, разделят окружность на три равные части (рисунок 29, б). Для деления окружности на 12 равных частей описывают еще две дуги радиусом окружности из точек3 и4 (рисунок 29, в).

Рисунок 29

Построить правильные вписанные треугольник, шестиугольник и т. д. можно также с помощью линейки и угольника в 30 и 60°. На рисунке 30 приведено подобное построение для вписанного треугольника.

Рисунок 30

Деление окружности на семь равных частей и построение правильного вписанного семиугольника (рисунок 31) выполняют с помощью половины стороны вписанного треугольника, приблизительно равной стороне вписанного семиугольника.

Рисунок 31

Для деления окружности на пять или десять равных частей проводят два взаимно перпендикулярных диаметра (рисунок 32, а). РадиусOA делят пополам и, получив точкуВ , описывают из нее дугу радиусомR = BC до пересечения ее в точкеD с горизонтальным диаметром. Расстояние между точкамиC иD равно длине стороны правильного вписанного пятиугольника (а 5 ), а отрезокOD равен длине стороны правильного вписанного десятиугольника (а 10 ). Деление окружности на пять и десять равных частей, а также построение вписанных правильных пятиугольника и десятиугольника показаны на рисунке 32, б. Примером использования деления окружности на пять частей является пятиконечная звезда (рисунок 32, в).

Рисунок 32

На рисунке 33 приведен общий способ приближенного деления окружности на равные части . Пусть требуется разделить окружность на девять равных частей. В окружности проводят два взаимно перпендикулярных диаметра и вертикальный диаметрAB делят на девять равных частей с помощью вспомогательной прямой (рисунок 33, а). Из точкиB описывают дугу радиусомR =AB , и на пересечении ее с продолжением горизонтального диаметра получают точкиС иD . Из точекC иD через четные или нечетные точки деления диаметраAB проводят лучи. Точки пересечения лучей с окружностью разделят ее на девять равных частей (рисунок 33, б).

Рисунок 33

При построении необходимо учитывать, что такой способ деления окружности на равные части требует особенно большой точности выполнения всех операций.