Прямая перпендикулярная двум пересекающимся прямым на плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости: теория и практика. Перпендикулярность в пространстве могут иметь

Построение прямой перпендикулярной данной плоскости из точки, взятой вне этой плоскости.
Пусть a - плоскость, А – точка, из которой надо опустить перпендикуляр. В плоскости проведем некоторую прямую а . Через точку А и прямую а проведем плоскость b (прямая и точка определяют плоскость, причем только одну). В плоскости b из точки А опустим на прямую а перпендикуляр АВ. Из точки В в плоскости a восстановим перпендикуляр и обозначим прямую, на которой лежит этот перпендикуляр за с . Через отрезок АВ и прямую с проведем плоскость g (две пересекающиеся прямые определяют плоскость, причем только одну). В плоскости g из точки А опустим на прямую с перпендикуляр АС. Докажем, что отрезок АС – перпендикуляр к плоскости b . Доказательство. Прямая а перпендикулярна прямым с и АВ (по построению), а значит она перпендикулярна и самой плоскости g , в которой лежат эти две пересекающиеся прямые (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). А раз она перпендикулярна этой плоскости, то она перпендикулярна и любой прямой в этой плоскости, значит прямая а перпендикулярна АС. Прямая АС перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости α : с (по построению) и а (по доказанному), значит она перпендикулярна плоскости α (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости)

Теорема 1 . Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.
Доказательство. Пусть а и b - перпендикулярные прямые, а 1 и b 1 - параллельные им пересекающиеся прямые. Докажем, что прямые а 1 и b 1 перпендикулярны.
Если прямые а , b , а 1 и b 1 лежат в одной плоскости, то они обладают указанным в теореме свойством, как это известно из планиметрии.
Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Тогда прямые а и b лежат в некоторой плоскости α , а прямые а 1 и b 1 - в некоторой плоскости β . По признаку параллельности плоскостей плоскости α и β параллельны. Пусть С - точка пересечения прямых а и b , а С 1 - пересечения прямых а 1 и b 1 . Проведем в плоскости параллельных прямых а и а а и а 1 в точках А и А 1 . В плоскости параллельных прямых b и b 1 прямую, параллельную прямой СС 1 . Она пересечет прямые b и b 1 в точках B и B 1 .
Четырехугольники САА 1 С 1 и СВВ 1 С 1 - параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник АВВ 1 А 1 также параллелограмм. У него стороны АА 1 и ВВ 1 параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой СС 1 .Таким образом четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые АА 1 и ВВ 1 . А она пересекает параллельные плоскости α и β по параллельным прямые АВ и А 1 В 1 .
Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то АВ=А 1 В 1 , АС=А 1 С 1 , ВС=В 1 С 1 . По третьему признаку равенства треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны. Итак, угол А 1 С 1 В 1 , равный углу АСВ, прямой, т.е. прямые а 1 и b 1 перпендикулярны. Ч.т.д.

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.
Теорема 2 . Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Доказательство. Пусть а 1 и а 2 - две параллельные прямые и α - плоскость, перпендикулярна прямой а 1 . Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а 2 .
Проведем через точку А 2 пересечения прямой а 2 с плоскостью α произвольную прямую с 2 в плоскости α . Проведем в плоскости α через точку А 1 пересечения прямой а 1 с плоскостью α прямую с 1 , параллельную прямой с 2 . Так как прямая а 1 перпендикулярна плоскости α , то прямые а 1 и с 1 перпендикулярны. А по теореме 1 параллельные им пересекающиеся прямые а 2 и с 2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а 2 перпендикулярна любой прямой с 2 в плоскости α . А это значит, что прямая а 2 перпендикулярна плоскости α . Теорема доказана.

Теорема 3 . Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой.
Имеем плоскость α и две перпендикулярные ей прямые а и b . Докажем, что а || b .
Через точки пересечения прямыми плоскости проведем прямую с . По признаку получаем а ^ c и b ^ c . Через прямые а и b проведем плоскость (две параллельные прямые определяют плоскость и притом только одну). В этой плоскости мы имеем два параллельные прямые а и b и секущую с . Если сумма внутренних односторонних углов равна 180 о, то прямые параллельны. У нас как раз такой случай - два прямых угла. Поэтому а || b .

Ясно, что нельзя проверить перпендикулярность прямой и плоскости, пользуясь непосредственно определением

этого понятия: ведь в нем речь идет о перпендикулярности бесконечного множества пар прямых. Но, оказывается, что для этого достаточно установить перпендикулярность лишь двух пар прямых. Об этом и говорится в следующей теореме.

Теорема 2. Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, перпендикулярна этой плоскости.

Пояснение: Вот пример: раскройте книгу и поставьте ее на стол (рис. 2.14).

Корешок книги перпендикулярен краям обложки, лежащим на столе, и, тем самым, самому столу. Еще пример. Устанавливая вертикально мачту, достаточно сделать так, чтобы она была перпендикулярна двум прямым, проведенным через ее основание на палубе или на земле. А это можно сделать, натянув из одной точки мачты две пары растяжек равной длины и закрепив их на одинаковых расстояниях от основания мачты на каждой из двух прямых (рис. 2.15). Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости имеет в своей основе это реальное построение.

Пусть прямая а пересекает плоскость а в точке О и перпендикулярна двум прямым b и С, проходящим в плоскости а через точку О. Нужно доказать, что прямая а перпендикулярна ко всякой прямой, проходящей через точку О в плоскости а. Возьмем любую такую прямую d, отличную от b и С (рис. 2.16).

Выберем на прямых b и С по точке В и С так, чтобы отрезок ВС пересекал прямую d в какой-то точке D. Возьмем точки и С, ЕС так, чтобы точка О была серединой отрезков и т. е. чтобы и С, были симметричны точкам В и С относительно точки О в плоскости а. Тогда отрезок ВХСХ, симметричный относительно О отрезку ВС, пересечет прямую d в точке симметричной точке D относительно О (докажите!).

В силу симметричности точек точкам В, С, D имеем равенства

Возьмем теперь на прямой а любую точку и соединим ее отрезками АВ, AC, AD, и с точками Так как и то а является серединным перпендикуляром к отрезку . Поэтому . Аналогично . Так как, кроме того, , то т.е. . Кроме этих равных углов, в треугольниках ABD и имеем и . Но тогда и

Перпендикулярность в пространстве могут иметь:

1. Две прямые

3. Две плоскости

Давай по очереди рассмотрим эти три случая: все относящиеся к ним определения и формулировки теорем. А потом обсудим очень важную теорему о трёх перпендикулярах.

Перпендикулярность двух прямых.

Определение:

Ты можешь сказать: тоже мне, открыли Америку! Но вспомни, что в пространстве всё не совсем так, как на плоскости.

На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):

А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:

прямая перпендикулярна прямой, хотя и не пересекается с нею. Как так? Вспоминаем определение угла между прямыми: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми и, нужно через произвольную точку на прямой a провести прямую. И тогда угол между и (по определению!) будет равен углу между и.

Вспомнили? Ну вот, а в нашем случае - если окажутся перпендикулярны прямые и, то нужно считать перпендикулярными прямые и.

Для полной ясности давай рассмотрим пример. Пусть есть куб. И тебя просят найти угол между прямыми и. Эти прямые не пересекаются - они скрещиваются. Чтобы найти угол между и, проведём.

Из-за того, что - параллелограмм (и даже прямоугольник!), получается, что. А из-за того, что - квадрат, выходит, что. Ну, и значит.

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение:

Вот картинка:

прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем-всем прямым в этой плоскости: и, и, и, и даже! И ещё миллиарду других прямых!

Да, но как же тогда вообще можно проверить перпендикулярность в прямой и плоскости? Так и жизни не хватит! Но на наше счастье математики избавили нас от кошмара бесконечности, придумав признак перпендикулярности прямой и плоскости .

Формулируем:

Оцени, как здорово:

если найдутся всего лишь две прямые (и) в плоскости, которым перпендикулярна прямая, то эта прямая сразу окажется перпендикулярна плоскости, то есть всем прямым в этой плоскости (в том числе и какой-то стоящей сбоку прямой). Это очень важная теорема, поэтому нарисуем её смысл ещё и в виде схемы.

И опять рассмотрим пример .

Пусть нам дан правильный тетраэдр.

Задача: доказать, что. Ты скажешь: это же две прямые! При чём же здесь перпендикулярность прямой и плоскости?!

А вот смотри:

давай отметим середину ребра и проведём и. Это медианы в и. Треугольники - правильные и.

Вот оно, чудо: получается, что, так как и. И далее, всем прямым в плоскости, а значит, и. Доказали. И самым главным моментом оказалось именно применение признака перпендикулярности прямой и плоскости.

Когда плоскости перпендикулярны

Определение:

То есть (подробнее смотри в теме «двугранный угол») две плоскости (и) перпендикулярны, если окажется, что угол между двумя перпендикулярами (и) к линии пересечения этих плоскостей равен. И есть теорема, которая связывает понятие перпендикулярных плоскостей с понятием перпендикулярность в пространстве прямой и плоскости.

Теорема эта называется

Критерий перпендикулярности плоскостей.

Давай сформулируем:

Как всегда, расшифровка слов «тогда и только тогда» выглядит так:

• Если, то проходит через перпендикуляр к.

• Если проходит через перпендикуляр к, то.

(естественно, здесь и - плоскости).

Эта теорема - одна из самых важных в стереометрии, но, к сожалению, и одна из самых непростых в применении.

Так что нужно быть очень внимательным!

Итак, формулировка:

И снова расшифровка слов «тогда и только тогда». Теорема утверждает сразу две вещи (смотри на картинку):

давай попробуем применить эту теорему для решения задачи.

Задача : дана правильная шестиугольная пирамида. Найти угол между прямыми и.

Решение:

Из-за того, что в правильной пирамиде вершина при проекции попадает в центр основания, оказывается, что прямая - проекция прямой.

Но мы знаем, что в правильном шестиугольнике. Применяем теорему о трёх перпендикулярах:

И пишем ответ: .

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Перпендикулярность двух прямых.

Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними.

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости.

Перпендикулярность плоскостей.

Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен.

Критерий перпендикулярности плоскостей.

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах:

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Закрепим понятие перпендикулярности прямой и плоскости конспектом урока. Предоставим общее определение, сформулируем и приведём доказательства теоремы и решим несколько задач на закрепление материала.

Из курса геометрии известно: две прямые считаются перпендикулярными, когда они пересекаются под углом 90 о.

Вконтакте

Одноклассники

Теоретическая часть

Переходя к исследованию характеристик пространственных фигур, будем применять новое понятие.

Определение:

прямая будет называться перпендикулярной плоскости, когда она перпендикулярна прямой на поверхности, произвольно проходящей через точку пересечения.

Иначе говоря, если отрезок «АВ» перпендикулярен плоскости α, тогда угол пересечения со всяким отрезком, проведённым по данной поверхности через «С» точку прохождения «АВ» через плоскость α, будет 90 о.

Из вышесказанного вытекает теорема о признаке перпендикулярности прямой и плоскости:

в случае если прямая, проведённая через плоскость, будет перпендикулярна двум прямым, проведённым на плоскости через точку пересечения, то она перпендикулярна целой плоскости.

Говоря другими словами, если на рисунке 1 углы ACD и ACE равны 90 о, то и угол ACF тоже будет 90 о. Смотреть рисунок 3.

Доказательство

По условиям теоремы линия «а» проведена перпендикулярно линиям d и e. Иначе говоря, углы ACD и ACE равны 90 о. Приводить доказательства будем, исходя из свойств равенства треугольников. Смотреть рисунок 3.

Через точку C прохождения линии a через плоскость α прочертим линию f в произвольном направлении. Приведём доказательства, что она будет перпендикулярна отрезку AB или угол ACF будет 90 о.

На прямой a отложим отрезки одинаковой длины AC и AB. На поверхности α проведём линию x в произвольном направлении и не проходящую через место пересечения в точке «С». Линия «х» должна пересекать линии e, d и f.

Соединим прямыми точки F, D и E c точками A и B.

Рассмотрим два треугольника ACE и BCE. По условиям построения:

1. Имеются две одинаковые стороны AC и BC.
2. У них дна общая сторона CE.
3. Два равных угла ACE и BCE — по 90 о.

Следовательно, по условиям равенства треугольников, если имеем две равные стороны и одинаковый угол между ними, то эти треугольники равны. Из равенства треугольников следует, что стороны AE и BE равны.

Соответственно доказывается равенство треугольников ACD и BCD, иначе говоря, равенство сторон AD и BD.

Теперь рассмотрим два треугольника AED и BED. Из ранее доказанного равенства треугольников следует, что у этих фигур есть одинаковые стороны AE с BE и AD с BD. Одна сторона ED общая. Из условия равенства треугольников, определённых по трём сторонам, следует, что углы ADE и BDE равны.

Сумма углов ADE и ADF составляет 180 о. Сумма углов BDE и BDF также будет 180 о. Так как углы ADE и BDE равны, то и углы ADF и BDF равны.

Рассмотрим два треугольника ADF и BDF. Они имеют по две равных стороны AD и BD (доказано ранее), DF общую сторону и по равному углу между ними ADF и BDF. Следовательно, эти треугольники имеют одинаковые по длине стороны. То есть сторона BF имеет ту же длину, что и сторона AF.

Если рассматривать треугольник AFB, то он будет равнобедренный (AF равняется BF), а прямая FC является медианой, так как по условиям построения сторона AC равняется стороне BC. Следовательно, угол ACF равняется 90 о. Что и следовало доказать.

Важным следствием из приведённой теоремы будет утверждение:

если две параллельные пересекают плоскость и одна из них составляет угол 90 о, то и вторая походит через плоскость под углом 90 о.

По условиям задачи a и b являются параллельными. Смотреть рисунок 4. Линия a перпендикулярна поверхности α. Отсюда следует, что линия b будет также перпендикулярна поверхности α.

Для доказательства через две точки пересечения параллельных прямых с плоскостью проведём на поверхности прямую c . По теореме о прямой, перпендикулярной плоскости, угол DAB будет 90 о. Из свойств параллельных прямых следует, что угол ABF тоже будет 90 о. Следовательно, по определению прямая b будет перпендикулярна поверхности α.

Использование теоремы для решения задач

Для закрепления материала, используя основополагающие условия перпендикулярности прямой и плоскости, решим несколько задач.

Задача № 1

Условия. Из точки A построить перпендикулярную линию плоскости α. Смотреть рисунок 5.

На поверхности α проведём произвольную прямую b. Через прямую b и точку A построим поверхность β. Из точки A на линию b проведём отрезок AB. Из точки B на поверхности α проведём перпендикулярную линию c .

Из точки A на линию с опустим перпендикуляр AC. Докажем, что эта линия будет перпендикулярна плоскости.

Для доказательства через точку C на поверхности α проведём линиюd, параллельную b, и через линию c и точку A построим плоскость. Линия AC перпендикулярна линии c по условию построения и перпендикулярна линии d, как следствие о двух параллельных линиях из теоремы о перпендикулярности, так как по условию линияb перпендикулярна поверхности γ.

Следовательно, по определению перпендикулярности линии и плоскости, построенный отрезок AC перпендикулярен поверхности α.

Задача № 2

Условия. Отрезок АВ перпендикулярен плоскости α. Треугольник BDF расположен на поверхности α и имеет следующие параметры:

• угол DBF будет 90 о
• сторона BD =12 см;
• сторона BF =16 см;
• BC - медиана.

Смотреть рисунок 6.

Найти длину отрезка АС, если АВ = 24 см.

Решение. По теореме Пифагора, гипотенуза или сторона DF равна квадратному корню из суммы квадратов катетов. Длина BD в квадрате равна 144 и, соответственно, BC в квадрате будет 256. В сумме 400; извлекая квадратный корень, получаем 20.

Медиана BC в прямоугольном треугольнике делит гипотенузу на две равные части и по длине равна этим отрезкам, то есть ВС = DC = CF = 10.

Снова используется теорема Пифагора, и получаем: гипотенуза C = 26, что является квадратным корнем из 675, суммы квадратов катетов 576 (АВ = 24 в квадрате) и 100 (ВС = 10 в квадрате).

Ответ: Длина отрезка АС равняется 26 см.

На этом уроке мы повторим теорию и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости.
В начале урока вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости. Далее рассмотрим и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости. Для доказательства этой теоремы вспомним свойство серединного перпендикуляра.
Далее решим несколько задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости

Урок: Признак перпендикулярности прямой и плоскости

На этом уроке мы повторим теорию и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости .

Определение . Прямая а называется перпендикулярной к плоскости α, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство .

Пусть нам дана плоскость α. В этой плоскости лежат две пересекающиеся прямые p и q . Прямая а перпендикулярна прямой p и прямой q . Нам нужно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости α, то есть, что прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α.

Напоминание .

Для доказательства нам нужно вспомнить свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Серединный перпендикуляр р к отрезку АВ - это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка. То есть, если точка С лежит на серединном перпендикуляре р, то АС = ВС .

Пусть точка О - точка пересечения прямой а и плоскости α (рис. 2). Без ограничения общность, будем считать, что прямые p и q пересекаются в точке О . Нам нужно доказать перпендикулярность прямой а к произвольной прямой m из плоскости α.

Проведем через точку О прямую l , параллельно прямой m. На прямой а отложим отрезки ОА и ОВ , причем ОА = ОВ , то есть точка О - середина отрезка АВ . Проведем прямую PL , .

Прямая р перпендикулярна прямой а (из условия), (по построению). Значит, р АВ . Точка Р лежит на прямой р . Значит, РА = РВ .

Прямая q перпендикулярна прямой а (из условия), (по построению). Значит, q - серединный перпендикуляр к отрезку АВ . Точка Q лежит на прямой q . Значит, QА = QВ .

Треугольники АР Q и ВР Q равны по трем сторонам (РА = РВ , QА = QВ, Р Q - общая сторона). Значит, углы АР Q и ВР Q равны.

Треугольники А PL и BPL равны по углу и двум прилежащим сторонам (∠АР L = ∠ВР L, РА = РВ , PL - общая сторона). Из равенства треугольников получаем, что AL = BL .

Рассмотрим треугольник ABL. Он равнобедренный, так как AL = BL. В равнобедренном треугольнике медиана LО является и высотой, то есть прямая LО перпендикулярна АВ .

Мы получили, что прямая а перпендикулярна прямой l, а значит, и прямой m, что и требовалось доказать.

Точки А, М, О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, С и D лежат в плоскости α (рис. 3). Какие из следующих углов являются прямыми: ?

Решение

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна плоскости α, а значит, прямая АО перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α, в том числе прямой ВО . Значит, .

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой ОС , значит, .

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой О D , значит, . Рассмотрим треугольник DAO . В треугольнике может быть только один прямой угол. Значит, угол DAM - не является прямым.

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой О D , значит, .

Рассмотрим угол . Это угол в прямоугольном треугольнике BMO , он не может быть прямым, так как угол МОВ - прямой.

Ответ : .

В треугольнике АВС дано: , АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ - медиана (рис. 4). Через вершину С проведена прямая СК , перпендикулярная к плоскости треугольника АВС , причем СК = 12 см. Найдите КМ .

Решение :

Найдем длину АВ по теореме Пифагора: (см).

По свойству прямоугольного треугольника середина гипотенузы М равноудалена от вершин треугольника. То есть СМ = АМ = ВМ , (см).

Рассмотрим треугольник КСМ . Прямая КС перпендикулярна плоскости АВС , а значит, КС перпендикулярна СМ . Значит, треугольник КСМ - прямоугольный. Найдем гипотенузу КМ из теоремы Пифагора: (см).

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 1, 2, 5, 6 стр. 57

2. Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Укажите в кубе пару - ребро и грань, которые являются перпендикулярными.

4. Точка К лежит вне плоскости равнобедренного треугольника АВС и равноудалена от точек В и С . М - середина основания ВС . Докажите, что прямая ВС перпендикулярна плоскости АКМ .